\documentclass[12pt]{jarticle}
\textwidth= 13.5cm
\textheight= 22.0cm
\topmargin = -10pt
\evensidemargin=20pt
\oddsidemargin=20pt
\headsep=25pt
\parskip=10pt
\font\smallit=cmti10
\font\smalltt=cmtt10
\font\smallrm=cmr9


\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{headings}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}

\DeclareMathOperator{\LCM}{LCM}


\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}[thm]{Definition} 
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\theoremstyle{remark} 

\newtheorem{rem}[thm]{Remark}

\begin{document}
\title{���������_�̊�{�藝�̏ؖ�}
\author{Tomohiro Yamada�i�R�c�q�G�j}
\date{}
\maketitle

\begin{abstract}
�{�e�ł́A���������_�̊�{�藝�A�܂萮���̑f���������̈�Ӑ��̏ؖ������������������B
\end{abstract}

\setcounter{section}{-1}
\section{�͂��߂�}\label{intro}
���ׂĂ̐��̐����͑f���̐ςɁi�����������āj��ӓI�ɂ���킹��A���Ȃ킿�ǂ̂悤��
���̐��� $n$ ���A
$n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ �i$p_1<p_2<\cdots <p_k$ �͑f���� $e_1, e_2, \ldots, e_k$ �͐��̐����A
$n=1$ �̂Ƃ��� $k=0$ �Ƃ���j
�Ƃ����`�Ɉ�ӓI�ɕ\���ł���A�Ƃ������Ƃ����������_�̊�{�藝�ł���B

�{�e�ł́A���̏��������_�̊�{�藝�̏ؖ����������^����B�������A�����̏ؖ������
���鐮���̑f�������������ۂɂǂ̂悤�ɂ���킳��邩�ɂ��Ă͉��̏��������Ȃ��B
���ہA�f���������̂��߂̑��������Ԃ̃A���S���Y�������݂���Ƃ͍l���ɂ����B
�������̂��Ƃ͖����ؖ�����Ă��Ȃ��i�����ؖ������΁AP$\neq$ NP�ł��邱�Ƃ��������j�B

�f�����������\�ł��邱�Ƃ́A���w�I�A�[�@�ɂ�肷���ɂ킩��;
$2$ ���� $n$ �܂ł̐��������ׂđf���������\�ł���Ȃ�� $n+1$ �͂��ꎩ�̂��f���ł��邩�A
�܂��� $2$ ���� $n$ �܂ł�2�̐����̐ςɂ���킹�邪�A����2�̐����͐�q�̉�����
�f���������\�ł��邽�� $n+1$ ���f���������\�ƂȂ邩��ł���B

���������āA��Ӑ��̏ؖ������ƂȂ�B

�܂��A�������̋L�@�𓱓��������B
$\gcd(a, b)$ �� $a$ �� $b$ �̍ő���񐔂��A
$\LCM[a, b]$ �� $a$ �� $b$ �̍ŏ����{��������킵�A
$a$ �� $b$ ������؂邱�Ƃ� $a\mid b$ �Ƃ����B

\section{Euclid �̕��}

���������_�̊�{�藝�̕W���I�ȏؖ���Euclid���u���_�v��7���̖���30�ɋ�����
�i�ڂ����͍Ō�̐߂��Q�ƁjEuclid�̕���p����B
\begin{lem}[Euclid's lemma]
$a, b$ �������ŁA�f�� $p$ �� $ab$ ������؂�Ƃ��A $p$ �� $a, b$ �̏��Ȃ��Ƃ����������؂�B
\end{lem}

���������_�̊�{�藝��Euclid�̕�肩��]���B

�܂��AEuclid�̕��́A
�f�� $p$ �� $k$ �̐����̐� $a_1a_2\ldots a_k$ ������؂�Ƃ��A $p$ ��
$a_i$ �̏��Ȃ��Ƃ��������؂�A�Ƃ����悤�Ɋg�������B
���ہA$p$ �� $k$ �̐����̐� $a_1a_2\ldots a_k$ ������؂�Ƃ��A
Euclid�̕���� $p$ �� $a_1a_2\ldots a_{k-1}$ �� $a_k$ �̏��Ȃ��Ƃ����������؂邪�A
�O�҂̏ꍇ�A�Ă�Euclid�̕���� $p$ �� $a_1a_2\ldots a_{k-2}$ �� $a_{k-1}$ ��
���Ȃ��Ƃ����������؂�B������J��Ԃ��A $p$ �� $a_1, a_2, \ldots, a_{k-1}, a_k$
�̂������Ȃ��Ƃ��������؂邱�Ƃ��킩��B

���� $p$ �� $k$ �̑f���̐� $q_1q_2\ldots q_k$ ������؂�Ȃ��
$p$ �� $q_i$ �̂����ꂩ�ƈ�v����B

���āA�����̑f���������������̐��������݂���Ɖ��肵�āA $n$ �����̒��̍ŏ��̐��̐����Ƃ��A
���̂����̈�̑f���������Ɍ����ŏ��̑f���� $p$ �Ƃ���B
��������� $p$ �� $n$ �̑��̑f���������Ɍ���邱�Ƃ͂ł��Ȃ��B�Ƃ����̂�
$n/p$ �� $n$ ��菬��������A�f���������͈�ӓI�łȂ���΂Ȃ�Ȃ��B


\section{Bezout�̓���}

Euclid�̕��̏ؖ��̕��@�͂���������B��ʓI�Ȃ̂�Bezout�̓������g�����@�ł���B
\cite{HW} �ł͂��̕��@���p�����Ă���B
\begin{lem}[Bezout�̓���]
�C�ӂ̐��� $m, n$ �ɑ΂� 
$am+bn=\gcd(m, n)$ �ƂȂ鐮�� $a, b$ �����݂���B
\end{lem}

�܂����̕��i\cite{HW} ��Theorem 23 �ɂ�����j���ؖ�����B
\begin{lem}
$l$ �� $am+bn$ �i$a, b$ �͐����j�̌`�̍ŏ��̐��̐����Ƃ���B
���̂Ƃ� $am+bn$ �i$a, b$ �͐����j�̌`�̐����͂��ׂ� 
$l$ �̔{���ł���B
\end{lem}
\begin{proof}
$c, d$ �𐮐��Ƃ� $k=cm+dn$ �Ƃ���B������ $k$ �� $l$ �Ŋ��������� $q$ �Ƃ�
�]��� $r$ �Ƃ���B���Ȃ킿 $k=ql+r, 0\leq r<l$ �Ƃ���B
���� $a_0, b_0$ ��p����$l=a_0 m+b_0 n$ �Ƃ�����
$r=k-ql=(cm+dn)-q(a_0 m+b_0 n)=(c-qa_0)m+(d-qb_0)n$
�ƂȂ邩�� $r$ �� $am+bn$ �i$a, b$ �͐����j�̌`�����Ă���B
������ $0\leq r<l$ �ł��邩�� $r=0$ �ł��� $k=ql$ �� $l$ �̔{���łȂ���΂Ȃ�Ȃ��B
\end{proof}

���̂��Ƃ������ $l$ �� $m=1\times m+0\times n$ �� $n=0\times m+1\times n$ ��
���񐔂łȂ���΂Ȃ�Ȃ���
$m, n$ �� $\gcd(m, n)$ �̔{���ł��邩�� $l=am+bn$ �� $\gcd(m, n)$ �̔{���łȂ���΂Ȃ�Ȃ��B
���������� $l=\gcd(m, n)$ �ł��邱�Ƃ��킩��B����ɂ��Bezout�̓������������B

���āAEuclid�̕�������ʓI�Ȏ��̕����ؖ�����B
\begin{lem}\label{lm23}
$m, n$ �������� $n$ �� $km$ ������؂�Ƃ� $k$ �� $n/\gcd(m, n)$ �̔{���ł���B
\end{lem}
\begin{proof}
Bezout�̓�������
 $am+bn=\gcd(m, n)$ ���Ȃ킿 $k\gcd(m, n)=akm+bkn$ �ƂȂ鐮�� $a, b$ �����݂���킯����
 $n$ �� $km$ ������؂邩�� $k\gcd(m, n)=a(km)+bkn$ �� $n$ �̔{���ł���A
����� $k$ �� $n/\gcd(m, n)$ �̔{���ł���B
\end{proof}

���� $p$ ���f���� $a$ �� $p$ �Ŋ���؂�Ȃ��Ƃ� $\gcd(a, p)=1$ �Ȃ̂�����
$p\mid ab$ �Ȃ�� $p=p/\gcd(a, b)\mid b$ �ƂȂ�B����ɂ��Euclid�̕�肪�������B

Bezout�̓�����p����Euclid�̕��̏ؖ��͈�ʂ̐���ɂ�����f���������̈�Ӑ��Ɋւ���
��A�̒藝�̓���ȏꍇ�ł���F
Euclid�����Noether����ł���Bezout����ł���ABezout�����GCD����ł���A
GCD�����Schreier����ł���A���q�iNoether����͌��q����ł���jSchreier�����PID����UFD�ł���B

\section{Euclid�̌ݏ��@��p����Bezout�̓����̏ؖ�}

Bezout�̓�����
Euclid�̌ݏ��@���g�p���ďؖ����邱�Ƃ��ł���B
$a_0=m, a_1=n$ �Ƃ����B
 $a_{n-2}$ �� $a_{n-1}$ �Ŋ��������� $q_{n-1}$ �Ƃ��]��� $a_n$ �Ƃ��邱�Ƃɂ��
�V���� $a_n$ ���߂�B����� $a_l=0$ �ƂȂ� $l$ �܂ő�����B
���̂Ƃ� $a_{l-1}=\gcd(m, n)$ �ƂȂ�B
�Ƃ���� $a_2=m-q_1n, a_3=n-q_2a_2, \ldots, a_{l-2}=a_{l-4}-q_{l-3}a_{l-3}$ �ƂȂ�
$\gcd(m, n)=a_{l-1}=a_{l-3}-q_{l-2}a_{l-2}$ �� $am+bn$ �i$a, b$ �͐����j�̌`�ɂ���킷���Ƃ��ł���B

\section{�ŏ����{���ƍő���񐔂̗��_}

Euclid�̕��̂������̏ؖ��͍ŏ����{���ƍő���񐔂̗��_��p���Ă���B
���̕���\cite{Tkg}�̒藝1.3�����\cite{Sha}�̒藝1.4.1�ɑ�������B
\begin{lem}\label{lm31}
$a, b$ �̌��{���͏�� $\LCM[a, b]$ �̔{���ł���B
\end{lem}
\begin{proof}
$n$ �� $a, b$ �̔C�ӂ̌��{���Ƃ� $n$ �� $\LCM[a, b]$ �Ŋ��������� $q$ �Ƃ��A
�]��� $r$ �Ƃ���B�܂� $n=q\LCM(a, b)+r, 0\leq r<\LCM(a, b)$ �ƂȂ�悤�� $q, r$ ���Ƃ�B
����� $r=n-q\LCM[a, b]$ ���܂� $a, b$ �̌��{���ł��邪 $0\leq r<\LCM[a, b]$
�ł��邩�� $r=0$ �ł�����Ȃ��B�܂� $n$ �� $\LCM[a, b]$ �̔{���ł���B
\end{proof}

�o�ΓI�Ɏ��̕�肪���藧�B����́A�ʏ�̍ő���񐔂́A��ʂ�
���ɂ�����ő���񐔂̊T�O�ɓ��Ă͂܂�i���� $R$ �ɂ�����
$a, b$ �̍ő���񐔂Ƃ� $a, b$ �̌��񐔂̂����A�����Ȃ� $a, b$ �̌��񐔂ł�
����؂����̂������j�A���Ȃ킿�i�L���j������GCD����ł��邱�Ƃ��Ӗ�����B
\begin{lem}\label{lm32}
$a, b$ �̌��񐔂͏�� $\gcd(a, b)$ �̖񐔂ł���B
\end{lem}
\begin{proof}
$n$ �� $a, b$ �̔C�ӂ̌��񐔂Ƃ���B
$a, b$ �� $n$ �� $\gcd(a, b)$ �̌��{���ł��邩��
��قǂ̕���� $a, b$ �͋��� $l=\LCM[n, \gcd(a, b)]$ �̔{���ł���B
����� $l$ �� $a, b$ �̌��񐔂ł���B���������� $\gcd(a, b)\leq l\leq \gcd(a, b)$
�ł��邩�� $l=\gcd(a, b)$ �ł���B����������� $n$ �̔{���ł��邩��
$n$ �� $\gcd(a, b)$ �̖񐔂ł���B
\end{proof}

\cite{Tkg} �ł͎��̕���p����B
\begin{lem}
$m, n$ �����̐����̂Ƃ� $L=\LCM[m, n], d=\gcd(m, n)$ �Ƃ����� $mn=dL$ �ł���B
\end{lem}
\begin{proof}
$mn/d=m(n/d)=n(m/d)$ �� $m, n$ �̌��{����������\ref{lm31} ���
$mn/d$ �� $L$ �̔{���ł���B�܂� $dL\mid mn$ �ł���B
��� $mn/L=m/(L/n)=n/(L/m)$ �� $m, n$ �̌��񐔂�����
���\ref{lm32}��� $mn/L$ �� $d$ �̖񐔂ł���B�܂� $mn\mid dL$ �ł���B

����� $mn\mid dL\mid mn$ �ƂȂ� $mn=dL$ �𓾂�B
\end{proof}

����Euclid�̕����ؖ�����ɂ́A���̕��ő����B
\begin{lem}
$p$ ���f���� $a$ �� $p$ �Ŋ���؂�Ȃ����̐����Ȃ� $\LCM[a, p]=ap$ �ł���B
\end{lem}
\begin{proof}
$a$ �� $\LCM[a, p]$ �̖񐔂�
���\ref{lm31}��� $\LCM[a, p]$ �� $ap$ �̖񐔂�����
$\LCM[a, p]=a$ �܂��� $\LCM[a, p]=ap$ �ł���B
������ $a$ �� $p$ �̔{���ł͂Ȃ��̂� $\LCM[a, p]=ap$ �łȂ���΂Ȃ�Ȃ��B
\end{proof}

����Euclid�̕����ؖ�����B $p$ �� $ab$ ������؂邪 $a$ ������؂�Ȃ��Ƃ�
��̕���� $\LCM[a, p]=ap$ �ł���B $ab$ �� $a, p$ �̌��{���Ȃ̂�
���\ref{lm31}��� $ab$ �� $\LCM[a, p]=ap$ �̔{���ł���B�܂�
$b$ �� $p$ �̔{���ł���AEuclid�̕�肪���������Ƃ��킩��B


\cite{Sha}�̒藝1.4.3�͂���Ɨގ����Ă��邪�A�ő���񐔂ɂ��āA���قȂ�c�_�����Ă���B
\begin{lem}
$a$ �� $bc$ �̖񐔂� $\gcd(a, b)=1$ �̂Ƃ� $a$ �� $c$ ������؂�B
\end{lem}
\begin{proof}
$a$ �� $bc$ ������؂�̂� $a=\gcd(a, bc)$ �ł���B
$\gcd(a, b)=1$ �Ȃ̂� $c=\gcd(a, b)c$ �ł��邩�� $\gcd(a, c)=\gcd(a, \gcd(a, b)c)$
�ƂȂ�B
����� $\gcd(a, bc)=\gcd(a, \gcd(a, b)c)$ ���������Ƃ��ł����
$a=\gcd(a, bc)=\gcd(a, \gcd(a, b)c)=\gcd(a, c)$ �ƂȂ���ɂ���ʂ�
$a\mid c$ �ł��邱�Ƃ��m���߂���B

����ŁA������ $\gcd(a, bc)=\gcd(a, \gcd(a, b)c)$ ���������Ƃɂ���B

$l$ �� $a, \gcd(a, b)c$ �̌��񐔂ł���Ƃ� $l\mid\gcd(a, b)c\mid bc$ 
�ł��邩�� $l$ �� $a, bc$ �̌��񐔂ł���B����� $\gcd(a, \gcd(a, b)c)\leq \gcd(a, bc)$ �ƂȂ邱�Ƃ��킩��B

$d=\gcd(a, bc)$ �Ƃ����� $d\mid a\mid ac$ �Ȃ̂� $d$ �� $ac, bc$ �̌��񐔂ł���B
$ac$ �� $bc$ �� $c, d$ �̌��{���Ȃ̂� $c, d$ �Ɠ��l $\LCM[c, d]$
�� $ac, bc$ �̌��{���ł���B
$\LCM[c, d]=ck$ �Ƃ����� $k$ �� $a, b$ �̌��񐔂�����
���\ref{lm32}��� $k$ �� $\gcd(a, b)$ ������؂�B����������
$\LCM[c, d]=ck$ �� $\gcd(a, b)c$ ������؂邩��A $d$ �� $\gcd(a, b)c$ ������؂�B
���������� $d$ �� $a, \gcd(a, b)c$ �̌��񐔂ł���B��������L�̂悤��
$d=\gcd(a, bc)\geq \gcd(a, \gcd(a, b)c)$ �ł��邩��
$d=gcd(a, \gcd(a, b)c)$ �������ꂽ�B
\end{proof}

\section{���̑���Euclid�̕��̏ؖ�}

\cite{Nag}�ɂ��Ȗ���Euclid�̕��̏ؖ���������B
\begin{lem}
$a, b$ �𐮐��Ƃ� $k_0$ �� $k_0a$ �� $b$ �̔{���ƂȂ�ŏ��̐��̐����Ƃ���B
$ka$ �� $b$ �̔{���Ȃ�΁A $k$ �� $k_0$ �̔{���ł���B
\end{lem}
\begin{proof}
$k$ �� $k_0$ �Ŋ��������� $q$ �Ƃ��]��� $r$ �Ƃ���B���̂Ƃ�
$ra=(k-qk_0)a=ka-qk_0a$ �� $b$ �̔{������ $0\leq r<k_0$ �Ȃ̂�
$r=0$ ���Ȃ킿 $k$ �� $k_0$ �̔{���ƂȂ�ق��Ȃ��B
\end{proof}

�����p���ĕ��\ref{lm23}���ؖ��ł��AEuclid�̕�肪������B
\begin{lem}
$k_0=b/\gcd(a, b)$ �ł���B
\end{lem}
\begin{proof}
�܂� $ba$ �͖��炩�� $b$ �̔{���������̕��ɂ����ď�� $k=b$ �ƂƂ邱�Ƃ��ł���B
���������� $k_0$ �� $b$ �̖񐔂ł���B

������ $b=d_0k_0, k_0a=n_0b$ �Ƃ����B
���̂Ƃ� $a=n_0d_0$ �ł��邩�� $d_0$ �� $a, b$ �̌��񐔂ł���B
$d$ �� $a, b$ �̌��񐔂Ȃ�� $(b/d)a=ab/d=a(b/d)$ �� $a$ �̔{���ł��邩��
$b/d$ �� $k_0$ �̔{���A���Ȃ킿 $d$ �� $b/k_0=d_0$ �̖񐔂ł���B����� $d_0=\gcd(a, b)$ �܂�
$k_0=b/\gcd(a, b)$ �ł���B
\end{proof}

\section{���ڏؖ�}

�f���������̈�Ӑ��̒��ړI�ȏؖ���\cite{HW}��2.11�߂ɋL�ڂ���Ă���B

$n$ �𕡐��̕��@�őf���������ł���ŏ��̐��Ƃ��A$p$ ���u����̑f���������v�Ɍ����
�ŏ��̑f���Ƃ��A $q$ ���u��������̑f���������v�Ɍ����ŏ��̑f���Ƃ���B
$p$ �́u��������̑f���������v�ɂ͌���Ȃ��B�Ƃ����̂� $p$ ���u��������̑f���������v��
������ $p$ ��o���̑f�����������珜�����Ƃ� $n/p$ �������̑f���������������Ă��܂�
���ƂɂȂ�A $n$ �̍ŏ����ɔ����邩��ł���B���� $p\neq q$ �ł���B

�f�����g�͖��炩�Ɉ�ʂ�̑f�����������������Ă��Ȃ��̂� $n$ �͍������ł���B
���������� $p^2, q^2\leq n$ �ł���B $p\neq q$ �ł��邩�� $pq<n$ �ł���B

$N=n-pq$ �Ƃ���B���̂Ƃ� $0<N<n$ �ł��邩�� $N$ �͈�ʂ�̑f�����������������Ȃ��B
$p, q$ �͋��� $N=n-pq$ ������؂邩�� $p, q$ �͋��� $N$ �̑f���������Ɍ����B
���������� $N$ �� $pq$ �Ŋ���؂�Ȃ���΂Ȃ炸 $n=N+pq$ �� $pq$ �Ŋ���؂�Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��B
����� $n/q$ �� $p$ �Ŋ���؂�Ȃ���΂Ȃ�Ȃ����A $n/q<n$ �͈�ʂ�̑f������������
�����Ȃ����� $p$ �� $n/q$ �̑f���������Ɍ���Ȃ���΂Ȃ炸�A����� $n$ ��
�u��������̑f���������v�ɂ�����Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��B����������͏�L�́A
$p$ ���u��������̑f���������v�ɂ͌���Ȃ��Ƃ������Ƃɔ�����B

�����蕡���̕��@�őf���������ł��鐔�ȂǑ��݂��Ȃ����Ƃ��킩��A
�����̑f���������̈�Ӑ����ؖ����ꂽ�B

\section{Euclid�̏ؖ�}
Euclid���g�͑�7���̍ŏ���Euclid�̌ݏ��@�������Ă���ɂ�������炸
���̏ؖ��ɂ͌ݏ��@��p���Ă��Ȃ�����A
Euclid���g�̕��̏ؖ��ɂ͌�肪���邱�Ƃ��m���Ă���B
���������̂��Ƃ͂���قǒP���ł͂Ȃ��B
�ڂ����� \cite{PR} ���Q�Ƃ��ꂽ���B

Euclid�̏ؖ���
$a:b=c:d$ �� $ad=bc$ �����l�ł��邱�Ɓi����7.19�j��
$(a, b)$ ���� $a:b$ �����ŏ��̐��̐����̑΂ł���Ƃ�
$a:b=c:d$ �Ȃ� $c=an, d=bn$ �ƂȂ鐮�� $n$ �����݂��邱�Ɓi����7.20�j��p����B

Euclid�̖���7.20�̏ؖ���
$a=c(m/n), b=d(m/n)$ �ƂȂ鐮�� $m, n$ �� $m\geq 2$ �� $n$ �� $c$ �̖񐔂ƂȂ�悤��
�Ƃ�΁A $(a/m):(b/m)=(c/n):(d/n)=c:d$ �ƂȂ� $a, b$ �̍ŏ����ɔ����邱�Ƃ�p����B

������ $n$ �� $d$ �̖񐔂ł��邱�Ƃ��m���߂Ă��Ȃ��Ƃ����Ɏw�E�ł����������A
Euclid�͑�7���ł͔䂪���������Ƃ� $(a, b, c, d)=(mx, nx, my, ny)$ �ƂȂ鐮�� $m, n, x, y$ �����݂��邱�Ƃ�
��`���Ă���i��5���ł͒ʏ�̒�`��p���Ă���j���Ƃɒ��ӂ��Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��B

�����A���̒�`�̂��ƂŖ���7.19�̏ؖ�����������ƁA
Euclid�� $a:b=c:d$ �� $ad:bd=a:b$ �� $bc:bd=c:d$ ���瓱���o���Ă��邪�A
���̒�`�̂��Ƃł� $a:b=e:f, e:f=c:d$ �̂Ƃ� $a:b=c:d$ �ƂȂ邱�Ƃ͎����ł͂Ȃ��̂ł���B

\begin{thebibliography}{}
\bibitem{HW}
G. H. Hardy and E. M. Wright, D. R. Heath-Brown, J. Silverman, A. Wiles, {\it An Introduction to the Theory of Numbers}, the 6th edition, Oxford University Press, 2008.
\bibitem{Nag}
Trygve Nagell, {\it Introduction to Number Theory}, AMS Chelsea Publishing, 2001.
\bibitem{PR}
David Pengelley and Fred Richman, Did Euclid Need the Euclidean Algorithm to
Prove Unique Factorization? {\it Amer. Math. Monthly} \textbf{113} (2006), 196--205,
\protect\normalfont\ttfamily{https://www.math.nmsu.edu/~davidp/euclid.pdf} �œ���\�B
\bibitem{Sha}
Harold N. Shapiro, {\it Introduction to the Theory of Numbers}, Dover, 2008 (old edition, John Wiley and Sons, 1983).
\bibitem{Tkg}
���ؒ厡, {\it ���������_�u�`}, ��2��, �����o��, 1971.
\end{thebibliography}{}
\vskip 12pt
\end{document}