実数の集合の上限と下限

ここでは、上に有界な実数の集合は上限をもち、下に有界な実数の集合は下限をもつことを示す。

補題 1. 有理数 u に対して、 n ≤ u < n + 1 を満たす整数 n が存在する。

Proof. u は有理数なので整数 a, q を用いて u = a/q とおくことができる。このとき、 a = nq + r, 0 ≤ r ≤ q − 1 となる整数 n, r が存在する。 a/q = n + r/q より、 n ≤ a/q < n + 1 となる。

補題 2 (アルキメデスの原理). 実数 t に対して、 n ≤ t < n + 1 を満たす整数 N が存在する。

Proof. t に収束する、有理数からなるコーシー列をひとつとり、それを (a_{i}) とする。 n, m ≥ N に対してつねに |a_{n} − a_{m}| < 1 が成り立つように N をとることができる。 a_{m}(m ≥ N) を何でもいいからひとつとる。このとき、 |a_{m} − t| ≤ 1 が成り立つ。また、先の補題より、 l ≤ a_{m} < l + 1 となる整数 l が存在する。したがって l − 1 ≤ t < l + 2 となる。よって、 n として l − 1, l, l + 1 からいずれかひとつをうまくとれば、 n ≤ t < n + 1 となる。

実数の集合 S が有界であるとは、「すべての S の要素 x に対して、 x ≤ C」となる実数 C が存在することをいう。そのような C を S の上界という。また、上界のなかで最小のものがあるとき、それを S の上限といい、 sup S であらわす。同様に、実数の集合 S が有界であるとは、「すべての S の要素 x に対して、 x ≥ C」となる実数 C を S の下界といい、そのなかで最大のものがあるとき、それを S の下限といい、 inf S であらわす。

アルキメデスの原理を使って、有界な実数の集合は必ず上限をもつことを示すことができる。

定理 3. 有界な実数の集合 S は上限をもつ。

Proof. S の上界となるような有理数をひとつとり、それを a とする。ここで、 S の要素 u を何でもいいからひとつとる。すると、アルキメデスの原理より、 n ≤ a_{0}−u < n+1 となる整数 n が存在する。 a_{0} − (n + 1) < u より、 a_{0} − (n + 1) は S の上界ではない。ここで、 n + 2 個の数 a_{0}, a_{0} − 1, …, a_{0} − (n + 1) を考えると、 m = 0, 1, …, n のいずれかについて「a_{0} − m は S の上界であるが、 a_{0} − (m + 1) は S の上界ではない」という条件を満たす。そこで、 a_{1} = a_{0} − m とおくと、これは S の上界である。

以下、 a_{n} − 2^{−n} が S の上界であるとき a_{n+1} = a_{n} − 2^{−n} とし、そうでないとき a_{n+1} = a_{n} と定義していく。 a_{n} が S の上界ならば a_{n+1} も S の上界であるから、結局 a_{n} はすべて S の上界である。

ここで、 a_{i} がコーシー列であることがわかる。実際、 m > n > N ならば、 |a_{m} − a_{n}| < 2^{−n} + 2^{−n−1} + ⋯ = 2^{−(n−1)} = 2^{−N} である。

a_{i} があらわしている実数を r とおく。このとき r は S の上界である。実際、各 a_{n} は S の上界であるから、すべての a_{n} に対して a_{n} ≥ v となるので、 r ≥ v である。

r が S の上限すなわち最小の上界であることを示す。まず、 b_{1} = a_{1} − 1 とおく。つづいて、 a_{n+1} = a_{n} − 2^{−n} であるとき、 b_{n+1} = b_{n} とし、そうでないとき、 b_{n+1} = b_{n} + 2^{−n} と定義する。

このとき、 a_{n+1} − b_{n+1} = a_{n} − b_{n} − 2^{−n} = 2^{−n} が成り立つ。したがって、 b_{i} はコーシー列であり、 r に収束する。

一方、どの b_{i} も S の上界ではないとわかる。 b_{1} = a_{1} − 1 = a_{0} − (m + 1) は a_{0} の定義より、 S の上界ではない。また、 b_{i} = a_{i} − 2^{−i+1} が S の上界でないならば b_{i+1} = a_{i+1} − 2^{−i} も S の上界ではないことが次のようにわかる。 a_{i+1} = a_{i} のとき、 a_{i+1} の定義より、 a_{i} −2^{−i} は S の上界ではない。つまり、 b_{i+1} = a_{i+1} −2^{−i} = a_{i} −2^{−i} は S の上界ではない。また、 a_{i+1} = a_{i} − 2^{−i} ならば、 b_{i+1} = a_{i} − 2^{−i+1} = b_{i} より、やはり b_{i+1} は S の上界である。

b_{n} は r に収束するのだから、 s < r となるどのような実数 s に対しても、 s < b_{i} となる b_{i} が存在する。上で示したように b_{i} は S の上界ではないので s も S の上界ではない。 r が S の最小の上界である。

ここで上に有界な実数の集合 S は上限をもつことを示したが、同様にして、下に有界な実数の集合は下限をもつことも分かる。実際、 S が下に有界な実数の集合であるとき、 S の要素の符号を反転させたものの集合 T は上に有界だから、上限 t をもつ。このとき、 −t が S の下限である。