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\newtheorem*{definition}{定義}
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{example}{例}
\newtheorem{lemma}[theorem]{補題}


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\begin{document}

\title{第5回・第6回講義補足}
\date{}
\maketitle

\section{関数の増減についての補足}


$f(x)$ が $[a, b]$ で連続で、$(a, b)$ において $f^\prime(x)\geq 0$ （あるいは $f^\prime(x)>0$）となるとき
$f(x)$ は $[a, b]$ で（狭義）単調増加となることについては講義で解説したが、逆のこともいえる。
\begin{theorem}\label{th1}
$f(x)$ が $[a, b]$ で連続かつ $(a, b)$ において微分可能で、$[a, b]$ で単調増加となるとき、
$(a, b)$ で $f^\prime(x)\geq 0$ となる。
\end{theorem}

\begin{proof}
$a<t<b$ とし、$t+h<b$ となる正の実数 $h$ をとると、
$f(t+h)>f(t)$ だから、$f(t+h)-f(t)/h>0$ となる。よって、
$$f^\prime(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\geq 0.$$
\end{proof}

また、$f(x)$ が $[a, b]$ で連続で、$(a, b)$ において $f^{\prime}(x)$ が（狭義）単調増加であるとき
$f(x)$ は $[a, b]$ で（狭義で）下に凸となることについては講義で解説したが、やはり、次のように逆のこともいえる。
\begin{theorem}\label{th2}
$f(x)$ が $[a, b]$ で連続かつ $(a, b)$ において微分可能で、$[a, b]$ で（狭義で）下に凸となるとき、
$(a, b)$ で $f^{\prime}(x)$ が（狭義）単調増加となる。
\end{theorem}

\begin{proof}
$f(x)$ が $[a, b]$ で連続かつ $(a, b)$ において微分可能で、$[a, b]$ で（狭義で）下に凸となるとする。
$a\leq x<y\leq b$ となる $x, y$ をとる。このとき
\begin{equation}\label{eq1}
f^\prime(x)<\frac{f(y)-f(x)}{y-x}
\end{equation}
が成り立つ。実際、$x<x+h<y$ となる実数 $h$ をとると、
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}<\frac{f(y)-f(x+h)}{y-(x+h)}$$
となるから
$$(y-(x+h))(f(x+h)-f(x))<h(f(y)-f(x+h))$$
つまり
\begin{equation*}
\begin{split}
(y-x)(f(x+h)-f(x))< & ~ h(f(y)-f(x+h)+f(x+h)-f(x)) \\ = & ~ h(f(y)-f(x))
\end{split}
\end{equation*}
となるから、
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}<\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$$
となる。$h_0=(y-x)/2$ とおくと、
$$f^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq \frac{f(x+h_0)-f(x)}{h_0}<\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$$
となるから、\eqref{eq1} が成り立つ。

同様にして
\begin{equation}
f^\prime(y)>\frac{f(y)-f(x)}{y-x}
\end{equation}
も成り立つから、$f^\prime(x)<f^\prime(y)$ が成り立つ。
\end{proof}

なお、上に凸であることを、\textbf{凹}であるともいう。単調減少関数および凹関数についても、
上と同様にして、つぎのことがいえる。

\begin{theorem}
$f(x)$ が $[a, b]$ で連続かつ $(a, b)$ において微分可能で、$[a, b]$ で単調減少となるとき、
$(a, b)$ で $f^\prime(x)\leq 0$ となる。
\end{theorem}

\begin{theorem}
$f(x)$ が $[a, b]$ で連続かつ $(a, b)$ において微分可能で、$[a, b]$ で（狭義で）凹となるとき、
$(a, b)$ で $f^{\prime}(x)$ が（狭義）単調減少となる。
\end{theorem}


\section{Taylor級数の収束についての補足}

Taylor展開によってあらわされる級数
$$f(c)+f^\prime(c)(x-c)+\frac{f^\prime(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots$$
はつねに収束するとは限らない。一般的に
\begin{equation}\label{eq3}
a_0+a_1(x-c)+a_2 (x-c)^2+\cdots
\end{equation}
とあらわされる級数は収束するとは限らない。たとえば
$$\sum_{k=0}^\infty k!(x-c)^k$$
は $x\neq c$ のとき、つねに発散する。
\eqref{eq3} であらわされる級数の収束と発散は、つぎのように $\abs{x-c}$ から定まる。

\begin{theorem}
$b_n=\abs{a_n^{-1/n}}$ とおく。「$n$ が大きいとき $b_n\geq C$ となる」という性質をもつ $C$ の上限を
$R$ とおく。このとき、$\eqref{eq3}$ であらわされる級数は
$\abs{x-c}>R$ のとき発散し、$\abs{x-c}<R$ のとき収束する。
\end{theorem}

\begin{proof}
$\abs{x-c}<R$ のとき、$r=\abs{x-c}$ とおくと、
$n$ が大きいとき $b_n\geq r$ となる。$\abs{a_n}=b_n^{-n}\leq 1/r^n$ だから、
$n$ が大きいとき $\abs{a_n(x-c)^n}<(r/R)^n$ となる。$r/R<1$ なので、
\eqref{eq3} であらわされる級数は収束する。

一方、$\abs{x-c}>R$ のとき、$r=\abs{x-c}$ とおくと、「$n$ が大きいとき $b_n\leq r$ となる」が成立しない。
つまり $b_n<r$ となる $b_n$ で、 $n$ がいくらでも大きいものが存在する。
$\abs{a_n}=b_n^{-n}>1/r^n$ だから、
$\abs{a_n(x-c)^n}>1$ となる $n$ でいくらでも大きいものが存在する。よって
\eqref{eq3} であらわされる級数は収束しない。
\end{proof}

この $R$ を \eqref{eq3} の\textbf{収束半径}という。$\abs{x-c}=R$ のときは、この定理だけでは判定できない。

なお、定理にあらわれる「$n$ が大きいとき $b_n\geq C$ となる」という性質をもつ $C$ の上限を数列 $(b_n)$ の
\textbf{上極限}といい、$\limsup_{n\rightarrow \infty} b_n$ によりあらわす。
また、これに対して、「$n$ が大きいとき $b_n\leq C$ となる」という性質をもつ $C$ の下限を数列 $(b_n)$ の
\textbf{下極限}といい、$\liminf_{n\rightarrow \infty} b_n$ によりあらわす。

数列 $(u_n)$ の上極限および下極限は、それぞれ $(u_n)$ の収束する部分列の極限値の最大値および最小値と一致する。

\begin{example}
$$\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$$
は、任意の実数 $x$ について $e^x$ に収束するので、収束半径は $\infty$ である。

$$\sum_{k=0}^\infty x^k$$
は、$\abs{x}<1$ のとき $1/(1-x)$ に収束するが、$\abs{x}\geq 1$ のとき収束しないので、収束半径は $1$ である。一方
$$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k}{k}$$
は、$\abs{x}<1$ のとき $\log (1+x)$ に収束し、$\abs{x}> 1$ のとき収束しないので、収束半径は $1$ であるが、
$x=-1$ のとき
$$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k}$$
はやはり発散する一方、$x=1$ のとき
$$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k}$$
は $\log 2$ に収束する。
\end{example}
\end{document}
