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\begin{document}

\title{微分積分1（山田／火1）第1回 (4/11) 講義概要}
\date{}
\maketitle

\section{数列の極限}

数列の極限については、連続関数の性質を論じる上で必要な範囲に限り、実数の連続性との関連で取り上げる。
四則や根号、等比数列や等比級数などを用いてあらわされる数列の極限（正または負の無限大に発散する場合も含めて）の
具体的な計算については高等学校の数学IIIで取り扱い済みなので省略する。また、極限の厳密な定義についても
省略する（教科書の付録を参照）。

具体的には、数列の極限について、つぎの$2$つの性質について取り扱う。
\begin{itemize}
\item 有界（一定の値 $a, b$ があって、その数列のどの要素も $a$ と $b$ の間にあることをいう）な単調増加数列は
つねに収束する。
\item （Bolzano-Weierstrassの定理）有界な数列は収束する部分列をもつ。
\end{itemize}

実はこの両者はともに本質的には同じことを言っており、この性質を実数の連続性と言う（教科書の付録を参照）。
この性質を用いて、たとえば $(1+1/n)^n$, $\sum_{k=1}^n 1/k^2$ といった重要な数列が収束することを示す。

\section{関数の極限}

有理関数や三角関数の極限の計算の方法は数学IIIで取り扱い済なので省略する。
ただ、三角関数の極限 $\lim_{x\rightarrow 0} (\sin x)/x$ については、円の面積を用いる計算方法は
循環論法になることに注意を要する（厳密に示そうとすると、実質的に積分法を用いる必要がある）。

関数の極限の基本的な性質について再確認し、高等学校では厳密な証明を学習しない定理についても
ある程度詳しく議論しつつ、極限とは何かを説明する。

さらに、関数の極限を用いて、関数が連続であるとはどういうことか定義し、数列の極限で扱った実数の連続性を
利用して連続関数に関する最大値・最小値の定理や中間値の定理について説明する。

\end{document}
