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\begin{document}

\title{第5回課題の解}
\date{}
\maketitle

\begin{itemize}
\item[1a)] $y=x^2, y=4-x^2$ のグラフは $(\pm \sqrt{2}, 2)$ で交わり、
$-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$ のとき $4-x^2\geq x^2$ であるから
\[\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 4-2x^2 dx
=\left[4x-\frac{2x^3}{3}\right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}
=8\sqrt{2}-\frac{8\sqrt{2}}{3}=\frac{16\sqrt{2}}{3}.\]
\item[1b)] $x^2\leq y\leq 4-x^2$ を $x$ 軸の周りに回転させた図形は
$yz$ 平面上半径 $4-x^2$ の円板から半径 $x^2$ の円板を繰り抜いた図形となる。その面積は
$\pi((4-x^2)^2-(x^2)^2)=\pi(16-8x^2)$ であるから回転体の体積は
\[\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \pi (16-8x^2) dx=\pi \left[16x-\frac{8x^3}{3}\right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}
=32\sqrt{2}\pi-\frac{32\sqrt{2}\pi}{3}=\frac{64\sqrt{2}\pi}{3}.\]
\item[2)] $\log x$ は単調増加関数なので $x\geq 2$ に対して
\[\log x\geq \int_{x-1}^x \log tdt\]
が成り立つ。よって
\[
\log(n!)=\sum_{k=2}^n\log n\geq \sum_{k=2}^n\int_{k-1}^k \log tdt=\int_1^n \log tdt=n\log n-n+1
\]
であるから
\[n!\geq e^{n\log n-n+1}=\frac{n^n}{e^{n-1}}=e\left(\frac{n}{e}\right)^n.\]
\end{itemize}

\end{document}
