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\begin{document}

\title{微分積分4 第1回課題解説}
\date{}
\maketitle

\section{課題}

\begin{itemize}
\item[1)] 次の二重積分を求めよ。
\begin{itemize}
\item[a)] $\int_{y\geq 0, y\leq x, x+y\leq 4} x(4-y) dxdy$
\item[b)] $\int_{x^2+y^2\leq 1} \sqrt{1-x^2-y^2} dxdy$.
\end{itemize}
\item[2)] $3$つの平面 $x=0$, $y=0$, $z=0$ と曲面 $z=8-x^2-y$ で囲まれた部分の体積を求めよ。
\end{itemize}

\section{解}

\begin{itemize}
\item[1a)]
\[\begin{split}
& \int_0^2 \int_0^x x(4-y) dy dx+\int_2^4 \int_0^{4-x} x(4-y) dy dx \\
=& \int_0^2 4x^2-\frac{x^3}{2} dx+\int_2^4 4x(4-x)-\frac{x(4-x)^2}{2} dx \\
=& \left[\frac{4x^3}{3}-\frac{x^4}{8}\right]_0^2+\int_2^4 8x-\frac{x^3}{2} dx
=\left[\frac{4x^3}{3}-\frac{x^4}{8}\right]_0^2 +\left[4x^2-\frac{x^4}{8}\right]_2^4 \\
=& \frac{32}{3}-2+(48-30)=16+\frac{32}{3}=\frac{80}{3}
\end{split}\]
あるいは
\[\begin{split}
\int_0^2 \int_y^{4-y} x(4-y) dx dy
=& \int_0^2 \frac{(4-y)^3}{2}-\frac{y^2(4-y)}{2} dy \\
=& \int_0^2 (4-y)(-4y+8) dy \\
=& \int_0^2 4y^2-24y+32 dy \\
=& \left[\frac{4}{3}y^3-12y^2+32y\right]_0^2 \\
=& \frac{32}{3}-48+64=\frac{80}{3}.
\end{split}\]
\item[1b)]
$y=a\sin\theta, -\pi/2\leq \theta\leq \pi/2$ とおくと
\[\begin{split}
\int_{-a}^a \sqrt{a^2-y^2} dy=& \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (a\cos\theta)\sqrt{a^2-(a\sin\theta)^2} d\theta \\
=& a^2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 \theta d\theta \\
\end{split}\]
だが
\[
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 \theta d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta
=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\cos 2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}
\]
だから
\[\int_{-a}^a \sqrt{a^2-y^2} dy=\frac{a^2 \pi}{2}\]
である。よって
\[\begin{split}
\int_{x^2+y^2\leq 1} \sqrt{1-x^2-y^2} dxdy
=& \int_{-1}^1 \left(\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \sqrt{1-x^2-y^2}dy\right) dx \\
=& \int_{-1}^1 \frac{(1-x^2)\pi}{2} dx \\
=& \pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.
\end{split}\]
$x, y$ はともに負の数もとることに注意する。
\item[2)] $z\leq 0$ だから各 $x, y$ について $z$ は $0\leq z\leq 8-x^2-y$ の範囲を動く。よって体積は
\[\begin{split}
\int_{x, y\geq 0, x^2+y\leq 8} 8-x^2-y dxdy
=& \int_0^{2\sqrt{2}} \left(\int_0^{8-x^2} (8-x^2-y) dy\right) dx \\
=& \int_0^{2\sqrt{2}} \frac{(8-x^2)^2}{2} dx \\
=& \int_0^{2\sqrt{2}} 32-8x^2+\frac{x^4}{2} dx \\
=& \left[32x-\frac{8x^3}{3}+\frac{x^5}{10}\right]_0^{2\sqrt{2}} \\
=& 2\sqrt{2}\left(32-\frac{64}{3}+\frac{64}{10}\right) \\
=& 64\sqrt{2}\left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right)=\frac{512\sqrt{2}}{15}.
\end{split}\]
なお $x, y, z$ はいずれも $0$ 以上であることに注意する。
\end{itemize}


\end{document}
