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\begin{document}

\title{重積分の順序交換}
\date{}
\maketitle

\section{課題}

\begin{itemize}
\item[1)] 累次積分 $\int_0^1 \left(\int_{\sqrt{y}}^1 \frac{3dx}{x^3+1}\right) dy$ の積分順序を交換し、
この累次積分の値を求めよ。
\item[2)] $\int_0^1 \frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{x}{x^2+1}-\arctan x dx$ を求めよ
（部分積分法を使うより$f(x)=\frac{x}{x^2+1}+\arctan x$ を微分し、与式を累次積分の形に書き直すほうが簡単）。
\item[3)] $\int t^6 e^{t/2} dt$ を部分積分を使わずに求めよ（$\int e^{st} dt$ を $s$ の関数とみて微分する）。
\end{itemize}

\section{課題（解）}

\begin{itemize}
\item[1)] $0\leq y\leq 1, \sqrt{y}\leq x\leq 1\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq x^2$ より
$z=x^3$ とおくと
\[\begin{split}
\int_0^1 \left(\int_{\sqrt{y}}^1 \frac{3dx}{x^3+1}\right) dy
= & \int_0^1 \left(\int_0^{x^2} \frac{3dy}{x^3+1}\right) dx \\
= & \int_0^1 \frac{3x^2}{x^3+1} dx
=\int_0^1 \frac{dz}{z+1} \\
=& \log 2.
\end{split}\]
\item[2)] $f(x)=\frac{x}{x^2+1}+\arctan x$ とおくと
\[f^\prime(x)=\frac{1}{x^2+1}-\frac{2x^2}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{x^2+1}=\frac{2}{(x^2+1)^2}\]
である。また
\[\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{x}{x^2+1}-\arctan x=f(1)-f(x)=\int_x^1 f^\prime(y) dy\]
だから
\[\int_0^1 \frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{x}{x^2+1}-\arctan x dx
=\int_0^1 \left(\int_x^1 \frac{2}{(y^2+1)^2} dy\right)dx\]
となる。これは $\{0\leq x\leq y\leq 1\}$ における重積分と一致するから
\[\begin{split}
\int_0^1 \frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{x}{x^2+1}-\arctan x dx
= & \int_0^1 \left(\int_0^y \frac{2}{(y^2+1)^2} dx\right)dy \\
= & \int_0^1 \frac{2y}{(y^2+1)^2} dy
=\int_0^1 \frac{dz}{(z+1)^2} \\
= & \frac{1}{2}.
\end{split}\]
\item[3)] 
\[\frac{\partial}{\partial s} \left(\int_a^b t^n e^{st} dt\right)=\int_a^b t^n\frac{\partial}{\partial s}e^{st} dt
=\int_a^b t^{n+1} e^{st} dt \,\,(n=0, 1, \ldots)\]
かつ
\[\int e^{st} dt=\frac{e^{st}}{s}+C\]
なので
\[\int t e^{st} dt=\frac{te^{st}}{s}-\frac{e^{st}}{s^2}+C=\left(\frac{t}{s}-\frac{1}{s^2}\right)e^{st}+C,\]
\[\begin{split}
\int t^2 e^{st} dt=
& \left\{\left(\frac{t^2}{s}-\frac{t}{s^2}\right)+\left(-\frac{t}{s^2}+\frac{2}{s^3}\right)\right\}e^{st} +C \\
= & \left(\frac{t^2}{s}-\frac{2t}{s^2}+\frac{2}{s^3}\right)e^{st} +C,
\end{split}\]
以下同様にして
\[\begin{split}
\int t^3 e^{st} dt= & \left(\frac{t^3}{s}-\frac{3t^2}{s^2}+\frac{6t}{s^3}-\frac{6}{s^4}\right)e^{st} +C, \\
\int t^4 e^{st} dt= & \left(\frac{t^4}{s}-\frac{4t^3}{s^2}+\frac{12t^2}{s^3}-\frac{24t}{s^4}+\frac{24}{s^5}\right)e^{st} +C, \\
\int t^5 e^{st} dt= & \left(\frac{t^5}{s}-\frac{5t^4}{s^2}+\frac{20t^3}{s^3}-\frac{60t^2}{s^4}+\frac{120t}{s^5}-\frac{120}{s^6}\right)e^{st} +C, \\
\int t^6 e^{st} dt= & \left(\frac{t^6}{s}-\frac{6t^5}{s^2}+\frac{30t^4}{s^3}-\frac{120t^3}{s^4}+\frac{360t^2}{s^5}-\frac{720t}{s^6}+\frac{720}{s^7}\right)e^{st} +C
\end{split}\]
が成り立つ。よって
\[\int t^6 e^{t/2} dt=(2t^6-24t^5+240t^4-1920t^3+11520t^2-46080t+92160)e^{t/2}+C\]
となる。

定積分において微分と積分の順序交換を行う場合は微分するだけでよいが、不定積分の場合は改めて積分定数を加える
必要があることに注意。
\end{itemize}

\end{document}
