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\begin{document}

\title{変数変換法（一般の変数変換）}
\date{}
\maketitle

\setcounter{section}{-1}

\section{Web会議}

ZOOM \url{https://kobe-u-ac-jp.zoom.us/j/84564509089?pwd=cXpTQ3ZuS2lMSFh4aGFEbnl4MHNxUT09}

\section{学習内容の概略}

「微分積分4」の学習指示書ではLang2は \textit{Calculus of Several Variables}, Third Edition,
Springer-Verlag, 1991 を指す。

\subsection{一般の変数変換法}

参考 序論8.3、Lang2 XVI.1, XVII.1-3 など

\begin{itemize}
\item 2変数関数と変数変換… $G(x, y), x=\varphi(u, v), y=\psi(u, v)$ を $u, v$ の関数とみることができる
\item 重積分の公式と\textbf{ヤコビアン}…$F=(\varphi, psi)$ に対して
$\varphi, \psi$ の偏微分から行列式 $J_F$ を構成する
\item \textbf{極座標}と変数変換… $F(r, \theta)=(r\cos\theta, r\sin\theta)$ ならば $J_F=r$
\end{itemize}

変数変換公式の証明の詳細は補足ファイルを参照。

\section{課題}

1/17までにBEEFに提出し、そのときに1/19の学習指示書をダウンロードされたい。

\begin{itemize}
\item[1)] $F(u, v)=(u(v+1/v)/2, u(v-1/v)/2)$, $D=\{x, y\geq 0, y^2\geq x^2-1, y\leq 3x/5\}$ とおく。
$F(E)=D$ となる領域 $E$ を求めよ（$F(u, v)=(x, y)$ とおくと $x^2-y^2=u^2$, $y/x=(v-1/v)/(v+1/v)$
となることに注意するとよい）。（25点）
\item[2)] $F(u, v)=(u^2-v^2, 2uv), E=\{0\leq u, v\leq 1\}$ とおく。
$\iint_{F(E)}\sqrt{x^2+y^2} dxdy$ を求めよ（$(x, y)=F(u, v)$ とおくとよい）。（25点）
\item[3)] 次の重積分（およびその極限）を変数変換により求めよ。（各25点）

a) $\iint_{x^2+y^2\leq 4, x\geq 0, 0\leq y\leq x\sqrt{3}} x+3y dxdy$,
b) $\lim_{R\rightarrow \infty}\iint_{x^2+y^2\leq R^2} e^{-(x^2+y^2)} dxdy$.
\end{itemize}

\section{その他}

今回の講義の内容に関する質疑はBEEF「第4回目の内容に関する質疑応答」に、講義全般に関する意見要望は「ご意見・ご要望」に投稿されたい。

\end{document}
