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\begin{document}

\title{広義重積分}
\date{}
\maketitle

\setcounter{section}{-1}

\section{Web会議}

ZOOM \url{https://kobe-u-ac-jp.zoom.us/j/84564509089?pwd=cXpTQ3ZuS2lMSFh4aGFEbnl4MHNxUT09}

\section{学習内容の概略}

「微分積分4」の学習指示書ではLang2は \textit{Calculus of Several Variables}, Third Edition,
Springer-Verlag, 1991 を指す。

\subsection{広義重積分}

参考 序論8.4、Lang2 IX.3 など

\begin{itemize}
\item 広義重積分…重積分の極限で定まる、領域のとり方によらずに一意的に定まる必要がある
\item 広義重積分可能な場合…符号一定で極限がひとつ定まれば重積分可能
\item （補足）広義重積分と累次積分…一様収束するときには累次積分可能
\end{itemize}

証明の詳細、累次積分可能な条件の詳細は補足ファイルを参照。

\section{課題}

1/24までにBEEFに提出し、そのときに1/26の学習指示書をダウンロードされたい。

\begin{itemize}
\item[1)] $F(x, y)=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ とおき、
$t>0$ に対して有界閉領域領域の列 $D_n(t)=[1/n, 1]\times [t/n, 1]$ を定める。
$\lim_{n\rightarrow\infty} \iint_{D_n(t)} F(x, y) dxdy$ を $t$ の関数として求めよ。
（25点）
\item[2)] 次の広義重積分を求めよ。（各25点）

a) $\iint_{0\leq x, y\leq 1} \frac{x}{x^2+y^2} dxdy$,
b) $\iint_{x, y\geq 0, x^2+y^2\leq 1} \frac{x}{x^2+y^2} dxdy$.
\item[3)] $\alpha>0$ とする。$D=\{0\leq x\leq y\leq 1\}$ における $1/(y-x)^\alpha$ の
広義積分について、可能な場合と不可能な場合、可能な場合の積分の値を決定せよ。（25点）
\item[4)] （おまけ問題）補足ファイルで触れた積分 $\int_K^L e^{-t} t^{s-1} \log t dt$ が
$s\in [1, 2]$ において $K\rightarrow +0, L\rightarrow +\infty$ のとき絶対一様収束することを示せ。（30点）
\end{itemize}

\section{その他}

今回の講義の内容に関する質疑はBEEF「第6回目の内容に関する質疑応答」に、講義全般に関する意見要望は「ご意見・ご要望」に投稿されたい。

\end{document}
