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\begin{document}

\title{微分積分4 第1回～第3回補足}

\maketitle

\section{二重積分の存在}

$\mu(D)$ を領域 $D$ の面積とする。厳密には
$f(x), g(x)$ が $a\leq x\leq b$ において $g(x)\geq f(x)$ となっており、この区間で
$g(x)-f(x)$ が積分可能な関数であり、領域 $D$ が $y=f(x)$ のグラフと $y=g(x)$ のグラフ、および
2つの縦線 $x=a$, $x=b$ で囲まれた領域であるときには
\[\mu(D)=\int_a^b g(x)-f(x) dx\]
と定める。$C$ が曲線のとき $\mu(C)=0$ とする。正確には $\R$ の部分集合 $C$ を含む領域 $D$ で
$\mu(D)$ がいくらでも小さいものが取れるとき、$\mu(C)=0$ と定める。

有界閉領域 $D$ で有界で、面積 $0$ の部分を除いて連続な関数は二重積分 $\iint_D F(x, y)dx$ をもつことを言いたいが、
まず次の事実を認めることにする。

\begin{thm}[Heine-Cantorの定理]
$F(x, y)$ が有界閉領域 $D$ （通常単に領域というと閉領域をいうが、ここでは開領域と区別して、閉領域と明記する）
において連続とする。
$D$ において距離 $\delta$ 以下の$2$点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ について値の差
$\abs{F(x_2, y_2)-F(x_1, y_1)}$ の最大値を $g(\delta)$ とおくと $g(\delta)\rightarrow 0 (\delta\rightarrow 0)$
である。
\end{thm}

連続であるとは、一点 $(x_1, y_1)$ を決めたときにこの点との距離 $\delta$ 以下の点 $(x_2, y_2)$ をとると、
$\abs{F(x_2, y_2)-F(x_1, y_1)}$ が $\delta$ とともに $0$ に近づくことであった。
上の定理では、$2$点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ をどのように選んでも、$2$点間の距離が $0$ に近づけば値の差も
$0$ に近づくというのである。これを\textbf{一様連続}という。
閉領域でないときには、このような定理は一般には成り立たず、連続であることと一様連続であることは
必ずしも一致しない。たとえば $F(x, y)=1/(xy) (x, y>0)$ は $x, y$ が正のとき連続だが一様連続ではない。
$x$ 軸や $y$ 軸の近くでは距離が近くても値の差は大きくなるからである。

このことを踏まえた上で、定理を述べる。

\begin{thm}
$F(x, y)$ が有界閉領域 $D$ において有界で、面積 $0$ の部分を除いて連続な関数ならば、二重積分 $\iint_D F(x, y)dx$ が定まる。
\end{thm}

$F(x, y)$ が $D$ において有界でないときには二重積分が定まらない場合がある。
たとえば $-1\leq x, y\leq 1$ で $F(x, y)=1/(xy), 0 (xy=0)$ と定義すると $F(x, y)$ は $x$ 軸、$y$ 軸以外の場所で
連続だが、その近くでは急激に絶対値が増大するため二重積分が定まらない。

\begin{proof}
$D$ に含まれる閉領域で、不連続点を含まないものを任意にとって
それを $E_0$ とする。

$D$ の分割 $D=\cup_{i=1}^n D_i$ におけるリーマン和
\[\sum_{i=1}^n F(x_i, y_i) \mu(D_i)\]
をとる。
$S$ を $D_i$ が $D_0$ に含まれる添え字 $i$ 全体の集合、
$T$ をそれ以外の添え字 $i$ 全体の集合とし
$E_1$ を $E_0$ 以外の点を含まない $D_i$ 全体からなる領域とする。
$E_2$ を $E_0$ 以外の点を含む $D_i$ 全体からなる領域とする。
つまり $E_1=\cup_{i\in S} D_i, E_2=\cup_{i\in T} D_i$ である。もちろん $E_1$ は $E_0$ の部分集合である。

すると
\begin{equation}\label{eq11}
\sum_{i=1}^n F(x_i, y_i) \mu(D_i)=\sum_{i\in S} F(x_i, y_i) \mu(D_i)+\sum_{i\in T} F(x_i, y_i) \mu(D_i)
\end{equation}
が成り立つ。

$D_i$ において $F(x, y)$ の最小値を $F(s_i, t_i)$, 最大値を $F(u_i, v_i)$ とおく。
このとき
\begin{equation}
\sum_{i\in S} F(s_i, t_i) \mu(D_i)\leq\sum_{i=1}^n F(x_i, y_i) \mu(D_i)\leq\sum_{i\in S} F(u_i, v_i) \mu(D_i)
\end{equation}
が成り立つ。
また、$\mu(E_2)=\sum_{i\in T} \mu(D_i)$ だから、 $D$ における $\abs{F(x, y)}$ の最大値を $M$
（仮定より $F(x, y)$ は有界なので、有界閉領域においては、 $\abs{F(x, y)}$ の最大値が存在する）とおくと
\begin{equation}
\abs{\sum_{i\in T} F(x_i, y_i) \mu(D_i)}\leq M\sum_{i\in T}\mu(D_i)=M\mu(E_2)
\end{equation}
が成り立つ。これらを \eqref{eq11} に代入すると
\begin{equation}\label{eq12}
-M\mu(E_2)+\sum_{i\in S} F(s_i, t_i) \mu(D_i)\leq\sum_{i=1}^n F(x_i, y_i) \mu(D_i)\leq M\mu(E_2)+\sum_{i\in S} F(u_i, v_i) \mu(D_i)
\end{equation}
が成り立つ。左辺と右辺の差は大きくても
\begin{equation}\label{eq13}
2M\mu(E_2)+\max_{i\in S} (F(u_i, v_i)-F(s_i, t_i)) \mu(D_i)
\end{equation}
である。Heine-Cantorの定理より $F(x, y)$ は $E_0$ では一様連続だから $E_1=\cup_{i\in S} D_i$ でも
一様連続なので、分割を細かくすれば $\max_{i\in S} (F(u_i, v_i)-F(s_i, t_i))$ は $0$ に近づく。
また $E_2$ は $E_0$ 以外の点を含む $D_i$ 全体からなる領域であるが、分割を細かくすれば
$E_2$ は $E\backslash E_0$ に近づいていくから $\mu(E_2)$ は $\mu(D)-\mu(E_0)$ に近づいていく。
$D$ は面積 $0$ の部分を除いて連続だから、 $\mu(E_0)$ はいくらでも $\mu(D)$ に近づけることができる。よって
分割を細かくすれば \eqref{eq13} の量は $0$ に近づき、したがって
\eqref{eq12} の左辺と右辺の差も $0$ に近づいていく。これはリーマン和が収束することを意味する。
\end{proof}

\begin{example}
$F(x, y)=1 (\abs{x}<1), F(x, y)=-1/2 (\abs{x}\geq 1)$ と定義する。このとき領域 $D=\{-2\leq x, y\leq 2$ において
\[\iint_D F(x, y) dxdy=8-4=4.\]
実際リーマン和において $\abs{x}<1$ となる点のみからなる部分を $S_1$, $\abs{x}>1$ となる点のみからなる部分を $S_2$,
$\abs{x}=1$ となる点を含む部分を $S_3$ とおくと、 $S_1\rightarrow 8$, $S_2\rightarrow -4$, $S_3\rightarrow 0$
が確認できる。
\end{example}

\section{二重積分と累次積分}

二重積分と累次積分については、第1回の講義で解説したように、次の基本的な定理が存在する。

重積分 $\iint_D F(x, y)dxdy$ が存在し、
$a\leq x\leq b$ ならば一変数の積分 $\int_c^d F(x, y)dy$ が存在するとする。このとき
\begin{equation}
\iint_D F(x, y)dxdy=\int_a^b\left(\int_c^d F(x, y)dy\right)dx
\end{equation}
が成り立つ。

まず $D=[a, b]\times [c, d]=\{a\leq x\leq b, c\leq y\leq d\}$ の形の領域を取り扱う。

\begin{proof}[証明1]

\[a=x_0<x_1<\cdots <x_m=b, c=y_0<y_1<\cdots <y_n=d\]
となる実数列 $x_0, x_1, \ldots, x_m$, $y_0, y_1, \ldots, y_n$ をとると
$D_{i, j}=[x_i, x_{i+1}]\times [y_j, y_{j+1}] (0\leq i\leq m-1, 0\leq j\leq n-1$ は $D$ の分割となっている。
そして $\mu(D_{i, j})=(x_{i+1}-x_i)(y_{j+1}-y_j)$ である。
よって
$x_i\leq \alpha_{i, j}\leq x_{i+1}, y_j\leq \beta_{i, j}\leq y_j$ となる $\alpha_{i, j}, \beta_{i, j}$ をとると
\begin{equation}
S=\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} F(\alpha_{i, j}, \beta_{i, j}) (x_{i+1}-x_i) (y_{j+1}-y_j)
\end{equation}
はリーマン和となっている。
重積分が存在することは仮定しているから、
$m, n\rightarrow\infty, x_{i+1}-x_i, y_{j+1}-y_j\rightarrow 0$ とすると
$S$ は重積分 $\iint_D F(x, y)dxdy$ に収束する。

それで、各 $D_{i, j}$ において $F(x, y)$ が最小値を取る $(x, y)$ を $(s_{i, j}, t_{i, j})$、
$F(x, y)$ が最大値を取る $(x, y)$ を $(u_{i, j}, v_{i, j})$ とおくと
\begin{equation}\label{eq1}
\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} F(s_{i, j}, t_{i, j}) (x_{i+1}-x_i) (y_{j+1}-y_j)\rightarrow S
\end{equation}
および
\begin{equation}\label{eq2}
\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} F(u_{i, j}, v_{i, j}) (x_{i+1}-x_i) (y_{j+1}-y_j)\rightarrow S
\end{equation}
が成り立つ。

ところで各 $x$ に対して、$y_j\leq y\leq y_{j+1}$ の範囲で $F(x_i, y)$ が最大値をとる $y$ を
$\eta_j(x)$ （もちろんこれは $x$ によって変化しうる）とおくと
\begin{equation}
\int_c^d F(x, y)dy\leq \sum_{j=0}^{n-1} F(x, \eta_j(x)) (y_{j+1}-y_j)
\end{equation}
となるから
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{m-1} (x_{i+1}-x_i)\int_c^d F(x_i, y)dy\leq \sum_{j=0}^{n-1} F(x_i, \eta_j(x_i))(x_{i+1}-x_i)(y_{j+1}-y_j)
\end{equation}
となるが $(x_i, \eta_j(x_i))$ はもちろん $D_{ij}$ に含まれるから、
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{m-1} \int_c^d F(x_i, y)dy\leq \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} F(u_{i, j}, v_{i, j}) (x_{i+1}-x_i)(y_{j+1}-y_j)
\end{equation}
が成り立つ。さらに左辺の極限は累次積分 $\int_a^b\left(\int_c^d F(x, y)dy\right)dx$
に一致する。右辺の極限は \eqref{eq2} より重積分 $\iint_D F(x, y)dxdy$ であるから
両辺の極限を取ると
\begin{equation}\label{eq3}
\int_a^b\left(\int_c^d F(x, y)dy\right)dx\leq \iint_D F(x, y)dxdy
\end{equation}
が成り立つ。同様にして
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{m-1} \int_c^d F(x_i, y)dy\geq \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} F(s_{i, j}, t_{i, j}) (x_{i+1}-x_i)(y_{j+1}-y_j)
\end{equation}
が成り立つことから \eqref{eq1} を使って
\begin{equation}\label{eq4}
\int_a^b\left(\int_c^d F(x, y)dy\right)dx\geq \iint_D F(x, y)dxdy
\end{equation}
がわかる。\eqref{eq3}, \eqref{eq4} より
\begin{equation}
\int_a^b\left(\int_c^d F(x, y)dy\right)dx=\iint_D F(x, y)dxdy
\end{equation}
がいえる。
\end{proof}

\begin{proof}[証明2]
\begin{equation}
S_{m, n}=\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} F(x_i, y_j) (x_{i+1}-x_i) (y_{j+1}-y_j)
\end{equation}
はリーマン和となるから
\begin{equation}\label{eq5}
\lim_{m, n\rightarrow\infty} S_{m, n}=\iint_D F(x, y)dxdy
\end{equation}
となる。
一方、
\begin{equation}
S_{m, n}=\sum_{i=0}^{m-1} \left[\sum_{j=0}^{n-1} F(x_i, y_j) (y_{j+1}-y_j)\right] (x_{i+1}-x_i)
\end{equation}
であるが、ひとつひとつの $i$ について $j$ に関する和の部分をみると
$F(x_i, y)$ の $c\leq y\leq d$ におけるリーマン和となっているから
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty} S_{m, n}=\sum_{i=0}^{m-1}  (x_{i+1}-x_i) \int_c^d F(x, y)dy
\end{equation}
が成り立つ。ここで、さらに $m\rightarrow\infty$ とおくと、極限は
\begin{equation}\label{eq6}
\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\lim_{n\rightarrow\infty} S_{m, n}\right)=\int_a^b\left(\int_c^d F(x, y)dy\right)dx
\end{equation}
と累次積分であらわされる。

\eqref{eq5} と \eqref{eq6} を比較すると、
\begin{equation}\label{eq7}
\lim_{m, n\rightarrow\infty} S_{m, n}=\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\lim_{n\rightarrow\infty} S_{m, n}\right)
\end{equation}
がいえればよいことがわかる。
両辺は似ているが、左辺では $m, n$ は同時に無限大に向かうのに対し、右辺では先に $n$ だけが無限大に向かい、
それによって得られた極限は $m$ による実数列となり、 $m$ が無限大に向かう。

一般的に、与えられた実数列 $a_{m, n}$ について
$\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_{m, n}\right)$ が存在するからといって
$\lim_{m, n\rightarrow\infty} a_{m, n}$ が存在するかすら定かではない。たとえば $a_{m, n}=m/n (m, n=1, 2, \ldots)$ とすると
$\lim_{n\rightarrow\infty} a_{m, n}=0$ であるから
$\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_{m, n}\right)$ も $0$ となる。しかし
$m=n$ という関係が成り立つように $m, n$ を無限大へ向かわせると $a_{m, n}\rightarrow 1$ であるから
$\lim_{m, n\rightarrow\infty} a_{m, n}$ という極限は存在しない。

しかし、各 $m$ に対して $\lim_{n\rightarrow\infty} a_{m, n}$ が存在し、かつ、極限 $\lim_{m, n\rightarrow\infty} a_{m, n}=A$ が存在するならば、
それは$\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_{m, n}\right)$と一致しなければならないことが
次のようにわかる。

$M, N$ を大きく取れば $m>M, n>N$ のとき $a_{m, n}$ は $A$ に近くなる。式であらわすと
$\abs{a_{m, n}-A}\leq \epsilon$ となる正の小さな実数 $\epsilon>0$ がとれる。
よって極限 $\lim_{n\rightarrow\infty} a_{m, n}$ も $A$ に近くなければならない。すなわち $m>M$ ならば
$\abs{\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_{m, n}\right)-A}\leq \epsilon$ となる。
$M$ を大きく取ればとるほど、 $\epsilon$ はいくらでも $0$ に近づくようとれるから
$m\rightarrow\infty$ のとき $\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_{m, n}\right)\rightarrow A$ となる。つまり
\begin{equation}
\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\lim_{n\rightarrow\infty} a_{m, n}\right)=A=\lim_{m, n\rightarrow\infty} a_{m, n}
\end{equation}
が成り立つ。これを $S_{m, n}$ に適用することで \eqref{eq7} がいえて、定理が証明された。
\end{proof}


また、同様にして、重積分 $\iint_D F(x, y)dxdy$ が存在し、
$c\leq y\leq d$ ならば一変数の積分 $\int_a^b F(x, y)dx$ が存在するとすれば、
\begin{equation}
\iint_D F(x, y)dxdy=\int_c^d\left(\int_a^b F(x, y)dx\right)dy
\end{equation}
となることもわかる。

一般の領域 $D$ を考え、$D$ が $a\leq x\leq b, f(x)\leq y\leq g(x)$  とあらわされているとする。
重積分 $\iint_D F(x, y)dxdy$ が存在し、
$a\leq x\leq b$ ならば一変数の積分 $\int_{f(x)}^{g(x)} F(x, y)dy$ が存在するとする。このとき
\begin{equation}
\iint_D F(x, y) dx=\int_a^b\left(\int_{f(x)}^{g(x)} F(x, y)dy\right)dx
\end{equation}
が成り立つ。
\begin{proof}
一般の領域については $F_0(x, y)=F(x, y) (x\in D), 0 (x\not\in D)$ と定義する。

$D$ を含む長方形の領域 $D_0=[a, b]\times [c, d]$ をとる。つまり $a\leq x\leq b$ においてつねに
$c\leq f(x)\leq g(x)\leq d$ が成り立つようにする。

$F_0(x, y)$ は $D$ においては $F(x, y)$ と一致するが、$D$ に属さないところでは $0$ をとる。もちろん
$D$ で積分する限り両者の積分は一致する。しかし $F_0(x, y)$ は $D$ を含んでいればどのような領域で積分しても
$\iint_D F_0(x, y)dxdy=\iint_D F(x, y)dxdy$ と一致する。つまり
\begin{equation}\label{eq21}
\iint_D F(x, y) dx=\iint_D F_0(x, y)dxdy=\iint_{D_0} F_0(x, y)dxdy
\end{equation}
が成り立つ（当然ながら $F(x, y)$ は $D$ に属さないところでも $0$ でない値を取りうるから
$\iint_D F(x, y) dxdy=\iint_{D_0} F(x, y)dxdy$ は一般には成り立たない）。
$D_0=[a, b]\times [c, d]$ の形の領域では重積分と累次積分が一致することは確かめたから
\begin{equation}\label{eq22}
\iint_{D_0}F_0(x, y)dx=\int_a^b\left(\int_c^d F_0(x, y)dy\right)dx
\end{equation}
が成り立つ。 $f_0(x)$ の定義から $f(x)\leq y\leq g(x)$ のとき $F_0(x, y)=F(x, y)$、そうでないとき
$F_0(x, y)=0$ が成り立つから
\begin{equation}\label{eq23}
\int_a^b\left(\int_c^d F_0(x, y)dy\right)dx=\int_a^b\left(\int_{f(x)}^{g(x)} F(x, y)dy\right)dx
\end{equation}
となる。\eqref{eq21}, \eqref{eq22}, \eqref{eq23} から
\begin{equation}
\iint_D F(x, y) dx=\int_a^b\left(\int_{f(x)}^{g(x)} F(x, y)dy\right)dx
\end{equation}
であることがいえる。
\end{proof}

\section{順序交換}

二重積分と累次積分の一致を利用すれば
\begin{equation}
\int_a^b\left(\int_c^d F(x, y)dy\right)dx=\int_c^d\left(\int_a^b F(x, y)dx\right)dy
\end{equation}
となることがわかる。より一般的に領域 $D$ が 4つの関数 $y=f(x), y=g(x), x=\varphi(y), x=\psi(y)$ を用いて
$\{a\leq x\leq b, f(x)\leq y\leq g(x)\}$ および $\{c\leq y\leq d, \varphi(y)\leq x\leq \psi(y)\}$ と
2通りにあらわされているとき
\begin{equation}
\int_a^b\left(\int_{f(x)}^{g(x)} F(x, y)dy\right)dx
=\int_c^d\left(\int_{\varphi(y)}^{\psi(y)} F(x, y)dx\right)dy
\end{equation}
が成り立つ。

\begin{example}
\begin{equation}
\int_0^1\left(\int_x^1 e^{-y^2} dy\right) dx.
\end{equation}
$e^{-y^2}$ の原始関数は初等関数ではあらわせない
（$2/\sqrt{\pi}$ 倍したものは誤差関数と呼ばれ、正規分布の累積分布関数にあらわれる）。
しかし、
\[0\leq x\leq 1, x\leq y\leq 1\Leftrightarrow 0\leq x\leq y\leq 1\Leftrightarrow 0\leq y\leq 1, 0\leq x\leq y\]
と言い換えられるから
$D=\{0\leq x\leq 1, x\leq y\leq 1\}$ は $D=\{0\leq y\leq 1, 0\leq x\leq y$ とあらわされ
\begin{equation}
\int_0^1\left(\int_x^1 e^{-y^2} dy\right) dx=\int_0^1\left(\int_0^y e^{-y^2} dx\right) dy
\end{equation}
となる。$e^{-y^2}$ は $x$ にはよらないから $x$ に関する積分としては、これは単なる定数関数の積分となり、
\begin{equation}
\int_0^1\left(\int_0^y e^{-y^2} dx\right) dy=\int_0^1 ye^{-y^2} dy=1-e^{-1}
\end{equation}
がわかる。
\end{example}

$F(x, y)$ の偏微分 $F_y(x, y)$ が $[a, b]\times [c, d]$ で重積分可能、かつ
$g(y)=\int_a^b F_y(x, y)dx$ で定まる関数について、 $c\leq y\leq d$ となる $y$ に対して積分
$\int_c^y g(y)dy$ および $\int_a^b F(x, y)-F(x, c) dx$ が定まるとする。
このとき累次積分の順序交換を用いて $g(y)=\int_a^b F_y(x, y) dx$ を求めることができる。つまり
\begin{equation}
\int_c^y\left(\int_a^b F_y(x, y) dx\right) dy=
\int_a^b\left(\int_c^y F_y(x, y) dy\right) dx=\int_a^b F(x, y)-F(x, c)dx=\int_a^b F(x, y)dx-\int_a^b F(x, c)dx
\end{equation}
であるから、これを $y$ で微分すると
\begin{equation}
\int_a^b F_y(x, y) dx=\frac{d}{dy}\int_a^b F(x, y)dx
\end{equation}
が得られる。
\begin{example}
\begin{equation}
\int \frac{dx}{s^2+x^2}=\int \frac{dy}{1+y^2}=\arctan y+C=\frac{1}{s}\arctan \frac{x}{s}+C (y=x/s)
\end{equation}
を $s$ で微分すると
\begin{equation}
\int \frac{dx}{(s^2+x^2)^2}=-\frac{1}{s^2}\arctan\frac{x}{s}-\frac{x}{s(s^2+x^2)}+C
\end{equation}
が得られる。
\end{example}


\end{document}
