数学基礎レポート問題／実数とその収束

山田智宏 (Tomohiro Yamada)

1. 1) u が有理数のとき、 n ≤ u < n + 1 を満たす整数 n が存在することを示せ。 2) x が実数のとき、 n ≤ x < n + 1 を満たす整数 n が存在することを示せ。

2. S は実数の集合で、上に有界なものとする。 1) 実数 a_{0} を適当にとる。「a_{0} − m は S の上界であるが、 a_{0} − (m + 1) は S の上界ではない」という性質を満たす整数 m が存在することを示せ。

2) 上記の a_{0} − m を a_{1} とし、 n ≥ 1 に対して、 a_{n} − 2^{−n} が S の上界であるとき a_{n+1} = a_{n} − 2^{−n} とし、そうでないとき a_{n+1} = a_{n} としていくことで、有理数列 a_{i} を定義する。 a_{i} はある数 r に収束し、 r は S の上界であることを示せ。

3) b_{1} = a_{1} − 1 とおく。つづいて、 a_{n+1} = a_{n} − 2^{−n} であるとき、 b_{n+1} = b_{n} とし、そうでないとき、 b_{n+1} = b_{n} + 2^{−n} と定義する。このとき、 b_{i} も r に収束すること、および各 b_{n} は S の上界ではないことを示せ。

4) 1)-3) をつかい、 r が S の上限であることを示せ。

3. 1. 2) であげた、 n ≤ x < n + 1 を満たす整数 n を ⌊x⌋ とかき、 {x} = x − ⌊x⌋ とおく。このとき、次の数列は収束するか？

1) a_{n} = 1/n.

2) a_{n} = 1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n.

3) a_{n} = \{(2 + \sqrt{2})^{n}\} .

4) a_{n} = \{n\sqrt{2}\} . （ヒント： y^{2} − 2x^{2} = ±1 を満たす整数 x, y を見つける）