数学基礎IB （山田）レポート問題略解

1. 別紙参照。

2. 別紙参照。

3. 1) n > 1/ϵ ならば、 0 < a_{n} < ϵ であり、よって |a_{n}| < ϵ である。よって、 a_{n} → 0(n → ∞) である。つまり、これは収束する。

2) m が整数で n > 2^{m} − 1 のとき、 a_{n} ≥ 1 + 1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + … + 1/2^{m−1} + … + 1/2^{m−1} = 1 + 1 + … + 1 = m である。 m は任意に大きく取れるから、 a_{n} は発散する。

3) u_{n} = (2 + \sqrt{2})^{n} + (2 − \sqrt{2})^{n} とおくと、 u_{n} = 2(2^{n} + \binom{n}{2}2^{n−1} + \binom{n}{4}2^{n−2} + …) は整数である。 2 − \sqrt{2} < 0.6 < 1 より、 n ≥ 0 ならば、 0 < (2 − \sqrt{2})^{n} ≤ 1 である。 u_{n} − 1 ≥ (2 + \sqrt{2})^{n} < u_{n} より、 \{(2 + \sqrt{2})^{n}\} = 1 − (2 − \sqrt{2})^{n} → 1(n → ∞) となる。よってこれは収束する。

なお、 u_{n} が整数であることは、次のようにしても示せる； x = 2 ± \sqrt{2} は x^{2} − 4x + 2 = 0 の解なので、 u_{n+2} = 4u_{n+1} − 2u_{n} となるが、 u_{0} = 2, u_{1} = 4 は共に整数なので、 u_{n} はすべて整数である。

4) x_{1} = 1, y_{1} = 1 とおき、 x_{k+1} = x_{k} + y_{k}, y_{k+1} = x_{k} + 2y_{k} とおく。このとき、 y_{k} − x_{k}\sqrt{2} = (y_{k−1} − x_{k−1}\sqrt{2})(1 − \sqrt{2}) = … = (1 − \sqrt{2})^{k} となる。 0 > 1 − \sqrt{2} = −0.414 ⋯ > −1 より、 |y_{k} − x_{k}| \sqrt{2} < 1 かつ y_{k} − x_{k}\sqrt{2} → 0(k → ∞) である。

また k が偶数のとき、 y_{k} − x_{k}\sqrt{2} > 0 であり k が奇数のとき、 y_{k} − x_{k}\sqrt{2} < 0 である。

よって、 k が偶数のとき、 y_{k}−1 < x_{k}\sqrt{2} < y_{k} なので、 \{x_{k}\sqrt{2}\} = 1−(y_{k}−x_{k}\sqrt{2}) → 1 であり、 k が奇数のとき、 y_{k} < x_{k}\sqrt{2} < y_{k} + 1 なので、 \{x_{k}\sqrt{2}\} = (y_{k} − x_{k}\sqrt{2}) → 0 である。したがって、 k が正の整数すべてを走るとき、 (\{x_{k}\sqrt{2}\}) は収束しない。よって、 (\{n\sqrt{2}\}) も収束しない。