数学基礎IB （山田）レポート問題2

1. 次の関数の導関数を求めよ。 1) log log log x

2) x^{sin x}

3) Li(e^{x}), ただし Li(x) = ∫_{0}^{x} \frac{dt}{log t}

2. 次の関数の原始関数を求めよ。 1) \frac{log^{2}|x|}{x}

2) \frac{1}{x^{3}+1}

3) \frac{1}{cos^{2} x} （ヒント： y = tan(x/2) とおいて置換積分）

3. 1) \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} のマクローリン展開を求めよ。

2) a_{n} を n が 7 で割れるとき a_{n} = 0, n を 7 で割った余りが 1, 2, 4 のとき a_{n} = 1, n を 7 で割った余りが 3, 5, 6 のとき a_{n} = −1 と定義する。このとき、 ∑_{n} a_{n}/n は収束するか。

4. 二つの化学物質 A と B は水溶液中で非可逆化学反応 A + B → C を起こし、その反応の速度は、 300K, 1atm において、 10^{−3}[A][B] で与えられるとする。 300K, 1atm において、 A, B の初期濃度がそれぞれ 2mol/l, 1mol/l であるとき、 B の濃度が 0.5mol/l となる時刻を求めよ。

5. a_{n} を 10 進数において、数字 0 を多くとも 3 個しか含まない正の整数を小さいものから順に並べたものとする。このとき、 ∑_{n} 1/a_{n} は収束するか。