線形代数学中間試験問題案

京都大学数学教室山田智宏 (Tomohiro Yamada)

1 問題

1. V を u = (1, −2, 3), v = (2, 1, 2) で生成される R^{3} の部分空間とする。

1) 次のベクトルは V に含まれるか。

w_{1} = (1, 8, −5), w_{2} = (2, −9, 8).

2) (1, k, −7) ∈ V となる k を求めよ。

2. 3 つのベクトル (1, 2, 3), (2, −1, 1), (0, −5, −5) は R 上 1 次独立か。

3. 次の 3 つの関数は R 上 1 次独立か。

1) sin t, cos t, t.

2) sin t, cos t, sin(t + \frac{π}{4}).

4. C^{2} の 2 つのベクトル (1 + i, 2i), (1, 1 + i) は C 上 1 次独立か。また、 R 上 1 次独立か。

5. R^{6} 上の、連立 1 次方程式 x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} + 8x_{4} + 16x_{5} + 32x_{6} = 0, x_{1} + 3x_{2} + 9x_{3} + 27x_{4} + 81x_{5} + 243x_{6} = 0 の解空間の基底を構成せよ。

2 解

1. 1) x − 2y + 3z = 0, 2x + y + 2z = 0 は 5y − 4z = 0, 5x + 7z = 0 と変形できるので、解は (x, y, z) = (−7t, 4t, 5t) である。したがって、 V は 7x − 4y − 5z = 0 で表される平面である。 w_{1} はこれを満たすが w_{2} はこれを満たさない。よって w_{1} ∈ V, w_{2} ∉ V である。

2) 7 − 4k + 35 = 0 より、 k = 21/2.

2. v_{1} = (1, 2, 3), v_{2} = (2, −1, 1), v_{3} = (0, −5, −5) とおく。 a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + a_{3}v_{3} = 0 ならば、 a_{1}+2a_{2} = 0, 2a_{1}−a_{2}−5a_{3} = 0, 3a_{1}+a_{2}−5a_{3} = 0 が成り立つ。第 1 式より a_{1} = −2a_{2} である。これを第 2 式、第 3 式に代入し、 −5a_{2}−5a_{3} = 0 を得る。そこで (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (2, −1, 1) とおくと、 a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3} = 2v_{1}−v_{2}+v_{3} = 0 となることが分かる。よって、 (1, 2, 3), (2, −1, 1), (0, −5, −5) は R 上 1 次従属である。 3. 1) a sin t + b cos t + ct = 0 とする。 t = 0 を代入し、 b = 0 を得る。よって、

a sin t + ct = 0 である。 t = π/2 を代入し、 c = 0 を得る（これは、 sin t が有界であり、 ct(c ≠ 0) が非有界であることからもわかる）。よって、 a sin t = 0 より、 a = 0 を得る。結局 a = b = c = 0 でなければならないから、 sin t, cos t, t は R 上 1 次独立である。

2) sin(t + \frac{π}{4}) = sin t cos \frac{π}{4} + cos t sin \frac{π}{4} より、 sin t, cos t, sin(t + \frac{π}{4}) は R 上 1 次従属である。

4. (1 + i)(1, 1 + i) = (1 + i, 2i) より、 (1 + i, 2i), (1, 1 + i) は C 上 1 次独立である。しかし、 1, 1 + i は R 上 1 次独立であるから、 (1 + i, 2i), (1, 1 + i) は R 上 1 次独立である。

5. 連立 1 次方程式 x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} + 8x_{4} + 16x_{5} + 32x_{6} = 0, x_{1} + 3x_{2} + 9x_{3} + 27x_{4} + 81x_{5} + 243x_{6} = 0 は P (X) = x_{6}X^{5} + x_{5}X^{4} + x_{4}X^{3} + x_{3}X^{2} + x_{2}X + x_{1} = 0 が X = 2, 3 を解にもつことと同値である。これは、 P (X) が (X − 2)(X − 3) = X^{2} − 5X + 6 で割れること、すなわち、 P (X) = (X^{2} − 5X + 6)F (X) となる多項式 F (X) が存在することと同値である。そのような P (X) の全体は X^{k}(X^{2} − 5X + 6)(k = 0, 1, 2, 3) を基底にもつ。

よって、 R^{6} 上の、連立 1 次方程式 x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} + 8x_{4} + 16x_{5} + 32x_{6} = 0, x_{1} + 3x_{2} + 9x_{3} + 27x_{4} + 81x_{5} + 243x_{6} = 0 の解空間は 4 つのベクトル

(6, −5, 1, 0, 0, 0), (0, 6, −5, 1, 0, 0), (0, 0, 6, −5, 1, 0), (0, 0, 0, 6, −5, 1)

を基底にもつ。