線形代数学B 後期試験問題

担当山田智宏（京都大学数学教室）

1. V を正の整数全体で定義された数列 a_{i}(i = 1, 2, … で、 ∑_{i=1}^{∞} a_{i} が収束するもの全体の集合とし、 W を、 V の数列のうち ∑_{i=1}^{∞} a_{i} = 0 を満たすもの全体の集合とする。数列の和とスカラー倍を各項ごとの和とスカラー倍により、それぞれ定義する。 V, W はともにベクトル空間であり、 V と W は同型であることを示せ。（25 点）

2. ζ = \frac{1+\sqrt{−3}}{2} とし、ベクトル v_{j} ∈ C^{6}(j = 1, 2, 3, 4, 5, 6) をv_{j} = ^{t}(ζ^{j}, ζ^{2j}, ζ^{3j}, ζ^{4j}, ζ^{5j}, ζ^{6j}) によって定義し、（縦ベクトルであるが、紙面節約のため転置して横表示していることに注意） C^{6} の線形写像を

f(e_{i}) = \frac{7}{2}e_{i} + (1 − ζ)e_{i+1} + \frac{2 − ζ}{3} e_{i+2} + \frac{1}{2}e_{i+3} + \frac{1 + ζ}{3} e_{i+4} + ζe_{i+5}

によって定義する（ただし、添字が 6 を超えるときは 6 を引いて考える）。このとき、順序つき基底 [v_{1}, v_{2}, …, v_{6}] に関する f の表現行列を求めよ。単に各 f(v_{i})(i = 1, 2, …, 6) を v_{j} の 1 次結合として表示するだけでもよい。（25 点）

3. 3a, 3b の 2 題のいずれかを選択せよ。

3a. V を区間 [0, 2π] 上の連続関数のなすベクトル空間とし、その内積を (u, v) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} u(x)v(x)dx により定義する。また、 W を V の部分空間で、 1, cos x, cos 2x, …, cos kx の生成するものとする。

1) α, cos x, cos 2x, …, cos kx が W の正規直交基底となるような α は存在するか。存在するなら、その値を求めよ。（5 点）

2) f ∈ V, m ∈ Z に対し、 ||f(x) − a cos mx|| が最小となる a を f, m の式として求めよ。（15 点）

3b. 某社の 2006 年から 2009 年の各 1 年間の売上が前年比で 1.2 倍、 1.3 倍、 1.5 倍、 1.4 倍となったとする。 Y 年の売上の近似が 1 次式 uY +v に対して exp(uY +v) で与えられるという仮定のもとで、 2010 年の売上の予測を 2005 年の売上との比で求めよ。ただし、正確に計算せず (1.2)^{a}(1.3)^{b}(1.4)^{c}(1.5)^{d} といった形で表示するだけでもよい。（20 点）

4. ある地域に 3 種類の生物 A, B, C が生息している。ある時点の A, B, C の生息数をそれぞれ x, y, z > 0 とすると、翌年の A, B, C の生息数はそれぞれ \frac{4x+y−z}{5}, \frac{2x+y−2z}{5}, \frac{x+y+2z}{5} となるとする。このとき、 A, B, C のいずれかが絶滅しない状況において、 A, B, C の生息数は最終的にどのような値に近づくか。（30 点） 1. ∑_{i=1}^{∞} a_{i} + ∑_{i=1}^{∞} b_{i} = ∑_{i=1}^{∞} a_{i} + b_{i}, r ∑_{i=1}^{∞} a_{i} = ∑_{i=1}^{∞} ra_{i} より、 V, W はベクト

ル空間である。

{a_{i}}_{i} ∈ V に対して、 f({a_{i}}_{i}) = {b_{i}}_{i} を b_{1} = − ∑_{i=1}^{∞} a_{i}, b_{i+1} = a_{i}(i = 1, 2, …) により定めると、 ∑_{i=1}^{∞} b_{i} = b_{1} + ∑_{i=2}^{∞} b_{i} = − ∑_{i=1}^{∞} a_{i} + ∑_{i=1}^{∞} a_{i} = 0 より f は V から W への写像。

f({a_{i}}_{i} + {b_{i}}_{i}) = {c_{i}}_{i} とすると、 c_{1} = −(∑_{i=1}^{∞} a_{i} + ∑_{i=1}^{∞} b_{i}), c_{i+1} = a_{i} + b_{i}(i = 1, 2, …) より f({a_{i}}_{i} + {b_{i}}_{i}) = f({a_{i}}_{i}) + f({b_{i}}_{i}) である。また、 f({a_{i}}_{i}) = {b_{i}}_{i} とすると、 f(r{a_{i}}_{i}) = f({ra_{i}}_{i}) = {rb_{i}}_{i} = r{b_{i}}_{i} である。よって、 f は 1 次写像である。さらに、 {b_{i}}_{i} ∈ W に対して、 f({a_{i}}_{i}) = {b_{i}}_{i} となる {a_{i}}_{i} は a_{i} = b_{i+1} によって一意に定められる。よって、 f は V から W への同型を与える。

2. （解 1）基底 [e_{1}, e_{2}, …, e_{6}] から基底 [v_{1}, v_{2}, …, v_{6}] への変換行列は P = (ζ^{ij}) で与えられる。また、 e_{i} = \frac{1}{6}(ζ^{−i}v_{1} + ζ^{−2i}v_{2} + ζ^{−3i}v_{3} + ζ^{−4i}v_{4} + ζ^{−5i}v_{5} + v_{6}) より、 P^{−1} = \frac{1}{6}(ζ^{−ij}) で与えられる。 ζ は ζ^{2} −ζ +1 = 0 の解であり、 ζ^{3} = −1, ζ^{6} = 1 であることに注意すると、

P = (\begin{matrix}ζ & ζ − 1 & −1 & −ζ & −ζ + 1 & 1 \\ ζ − 1 & −ζ & 1 & ζ − 1 & −ζ & 1 \\ −1 & 1 & −1 & 1 & −1 & 1 \\ −ζ & ζ − 1 & 1 & −ζ & ζ − 1 & 1 \\ −ζ + 1 & −ζ & −1 & ζ − 1 & ζ & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) ,

P^{−1} = \frac{1}{6} (\begin{matrix}−ζ + 1 & −ζ & −1 & ζ − 1 & ζ & 1 \\ −ζ & ζ − 1 & 1 & −ζ & ζ − 1 & 1 \\ −1 & 1 & −1 & 1 & −1 & 1 \\ ζ − 1 & −ζ & 1 & ζ − 1 & −ζ & 1 \\ ζ & ζ − 1 & −1 & −ζ & −ζ + 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix})

である。

標準基底に関する f の表現行列は

A = (\begin{matrix}\frac{7}{2} & ζ & \frac{1+ζ}{3} & \frac{1}{2} & \frac{2−ζ}{3} & 1 − ζ \\ 1 − ζ & \frac{7}{2} & ζ & \frac{1+ζ}{3} & \frac{1}{2} & \frac{2−ζ}{3} \\ \frac{2−ζ}{3} & 1 − ζ & \frac{7}{2} & ζ & \frac{1+ζ}{3} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{2−ζ}{3} & 1 − ζ & \frac{7}{2} & ζ & \frac{1+ζ}{3} \\ \frac{1+ζ}{3} & \frac{1}{2} & \frac{2−ζ}{3} & 1 − ζ & \frac{7}{2} & ζ \\ ζ & \frac{1+ζ}{3} & \frac{1}{2} & \frac{2−ζ}{3} & 1 − ζ & \frac{7}{2} \end{matrix})

であるから、基底 [v_{1}, v_{2}, …, v_{6}] に関する f の表現行列は

P^{−1}AP = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{matrix})

である。

2. （解 2） e_{i} = \frac{1}{6}(ζ^{−i}v_{1} + ζ^{−2i}v_{2} + ζ^{−3i}v_{3} + ζ^{−4i}v_{4} + ζ^{−5i}v_{5} + v_{6}) より、

f(v_{i}) = ∑_{j} ζ^{ij}f(e_{j}) = ∑_{j} ζ^{ij} (∑_{k} a_{k−j}e_{k})

= ∑_{k} (∑_{j} ζ^{ij}a_{k−j}) e_{k} = \frac{1}{6} ∑_{k} (∑_{j} ζ^{ij}a_{k−j}) (∑_{l} ζ^{−kl}v_{l})

= \frac{1}{6} ∑_{l} [∑_{k} ζ^{−kl} (∑_{j} ζ^{ij}a_{k−j})] v_{l}

を得る。なお、和はすべて1から6の添え字をとり、 a_{0} = a_{6}, a_{−1} = a_{5}, …, a_{−5} = a_{1} と定義する。

\frac{1}{6} ∑_{k} ζ^{−kl} (∑_{j} ζ^{ij}a_{k−j}) = \frac{1}{6} ∑_{j} a_{j} ∑_{k} ζ^{ik−l(k−j)}

= \frac{1}{6} ∑_{j} a_{j}ζ^{lj} ∑_{k} ζ^{(i−l)k}

= \begin{cases}∑_{j} a_{j}ζ^{lj} & (i = l), \\ 0 & (i ≠ l), \end{cases}

∑_{j} a_{j}ζ^{lj} = l(l = 1, 2, 3, 4, 5, 6) より、 f(v_{l}) = lv_{l}(l = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

3a. 1) m, n ≥ 0 に対して、

\frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} cos mx cos nxdx = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} cos(m + n)x + cos(m − n)xdx =

= \begin{cases}0 & (m ≠ n) \\ 1 & (m = n ≠ 0) \\ 2 & (m = n = 0) \end{cases}

となる。よって、 α = 1/\sqrt{2} とおくと、 α, cos x, cos 2x, …, cos kx は W の正規直交基底。 2) ||f(x) − a cos mx|| = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}(f(x)−a cos mx)^{2}dx = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x)^{2}−2f(x)a cos mx+ a^{2} cos^{2} mxdx を最高次の係数が\frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} cos^{2} mxdx = 1(m ≠ 0), 2(m = 0) の a の 2 次式とみて、微分すると、\frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} 2f(x) cos mx − 2a cos^{2} mxdx を得る。

よって、 ||f(x) − a cos mx|| が最小となるのは、\frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) cos mx = a cos^{2} mxdx のときである。すなわち

a = \begin{cases}\frac{1}{π} ∫_{0}^{π} f(x) cos mx & (m ≠ 0), \\ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{π} f(x) & (m = 0). \end{cases}

3b. a = 0, b = log 1.2, c = log(1.2 × 1.3), d = log(1.2 × 1.3 × 1.5), e = log(1.2 × 1.3 × 1.4 × 1.5) とおき、

(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}u \\ v \end{matrix}) − (\begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{matrix})

を最小化する u, v を最小二乗法により求める。

(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}30 & 10 \\ 10 & 5 \end{matrix})

より、

(\begin{matrix}u \\ v \end{matrix}) = \frac{1}{10} (\begin{matrix}1 & −2 \\ −2 & 6 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{matrix}) = \frac{1}{10} (\begin{matrix}−2a − b + d + 2e \\ 6a + 4b + 2c − 2e \end{matrix})

で与えられる。 −4a − b + 2c + 5d + 8e = 14 log 1.2 + 15 log 1.3 + 8 log 1.4 + 13 log 1.5 より、よって、 2010年の売り上げは2005年の売り上げのexp(5u+v) = exp((−4a − b + 2c + 5d + 8e)/10) = (1.2)^{1.4}(1.3)^{1.5}(1.4)^{0.8}(1.5)^{1.3} 倍となると予測される。

4. この問題は誤出題である。このままでは固有空間が 2 次元となり、対角化することができない。正しくは、翌年の B の生息数は\frac{2x+5y−2z}{5} で与えられるべきであった。このとき、

T = (\begin{matrix}4 & 1 & −1 \\ 2 & 5 & −2 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix})

とおくと、ある時点の A, B, C の生息数 v = ^{t}(x, y, z) に対し、翌年の A, B, C の生息数は\frac{1}{5}T v で与えられる。

T の固有多項式は t^{3} − 11t^{2} + 39t − 45 = (t − 3)^{2}(t − 5) で、 t = 3 の固有空間は

(\begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 2 & 2 & −2 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) = 0,

すなわち x + y − z = 0 で与えられ、 t = 5 の固有空間は

(\begin{matrix}−1 & 1 & −1 \\ 2 & 0 & −2 \\ 1 & 1 & −3 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) = 0,

すなわち x = z, y = 2x で与えられる。

そこで、

P = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})

とおくと、

P^{−1} = (\begin{matrix}−\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & 0 & −1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \end{matrix}) , P^{−1}T P = (\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix})

であるから、

P^{−1}T^{n}P = (\begin{matrix}3^{n} & 0 & 0 \\ 0 & 3^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 5^{n} \end{matrix}) ,

T^{n} = P (\begin{matrix}3^{n} & 0 & 0 \\ 0 & 3^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 5^{n} \end{matrix}) P^{−1} = (\begin{matrix}3^{n} + 5^{n} & −3^{n} + 5^{n} & 3^{n+1} − 5^{n} \\ 2 × (−3^{n} + 5^{n}) & 2 × 5^{n} & 2 × (3^{n} − 5^{n}) \\ −3^{n} + 5^{n} & −3^{n} + 5^{n} & 3^{n+1} − 5^{n} \end{matrix})

である。よって、 n → ∞ のとき、

(\frac{1}{5}T )^{n} → (\begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 2 & 2 & −2 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix})

であるから、 A, B, C の生息数は最終的に x + y − z, 2(x + y − z), x + y − z に近づく。