数学基礎IA 試験問題

担当山田智宏（京都大学数学教室）

授業中に取り扱った判定法や補題、定理などは証明なしで用いてよい。

1. 次のように定義される数列は収束するか。 1)a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + 1/a_{n}. (10 点) 2)a_{1} = 1, a_{n+1} = 3a_{n}^{2/3}. (10 点)

2. 級数 ∑_{n=1}^{∞} cos(2nπ/3)/n は収束するか。 (20 点)

3. 次の a_{n} に対する、ベキ級数 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} の収束半径を求めよ。 1)a_{0} = 2, a_{n+1} = 2a_{n} − 1(n ≥ 0). (10 点) 2)a_{0} = a_{1} = 1, a_{n} = a_{n−1} + a_{n−2}(n ≥ 2). (10 点)

4. 次の関数を t で微分せよ。 1)(1 + 1/t)^{t}. (10 点) 2)\frac{2}{\sqrt{3}} arctan(\sqrt{3} tan \frac{t}{2})(−π/2 < t < π/2). (10 点)

5. 原子核 A は放射能を出して原子核 B に崩壊し、 5 年で 1/e に減少する。また原子核 B は放射能を出して安定な原子核 C に崩壊し、 1 年で 1/e に減少する。最初、 1mol の原子核 A があるとする。原子核 B の数が最大となるのは何年後か。 (20 点)