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\begin{document}

\title{微分積分1 試験問題}

\author{担当 山田智宏}
\date{}
\maketitle

計算・論証の過程を式と文章によって説明すること。ただし講義中に取り扱った判定法や補題、定理など、
および高等学校までに学習している定理（三角関数の加法定理など）は証明なしで用いてよい。

\begin{itemize}
\item[1.] 次の関数を $t$ で微分せよ。
ただし $\arcsin$ は $\sin$ の逆関数で、$[-1, 1]$ で定義され、$(-\pi/2, \pi/2)$ に値をもつものとする。

1) $t^{1/t}$. (15点)

2) $t\sqrt{4-t^2}+4\arcsin\frac{t}{2} (-2<t<2)$. (15点)

\item[2.] $f(x)$ を $f(0)=0$ かつ $x\neq 0$ のとき
$$f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$$
により定義する。$f(x)$ は実数全体で微分可能であることを確かめ、$f^\prime(x)$ を求めよ。
また、$f^\prime(x)$ は実数全体で連続か？連続でない点があるとき、その点を求めよ。(30点)

\item[3.] 

1) $x>0$ のとき $$x-\frac{x^3}{3}<\arctan x<x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}$$ となることを示せ。(15点)

2) $4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}$ を見やすい形で求めよ。(10点)

3) $\pi>3.14$ となることを示せ
（1) の右辺を使わなくても、$x>0$ のとき $x-x^3/3<\arctan x<x$ を使えば十分示せる）。(15点)
\end{itemize}
\noindent
\end{document}