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\begin{document}

\title{微分積分1 試験解答例}

\author{担当 山田智宏}
\date{}
\maketitle

\begin{itemize}
\item[1.] 1) (15点) $$(t^{1/t})^\prime=(e^{(\log t)/t})^\prime$$ となるが、
$$\left(\frac{\log t}{t}\right)^\prime=\frac{1}{t^2}-\frac{\log t}{t^2}$$
だから、
$$(t^{1/t})^\prime=\frac{t^{1/t}(1-\log t)}{t^2}.$$

2) (15点) $x=\sin y, -\pi/2<y<\pi/2$ とおくと $$(\arcsin x)^\prime=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}=\frac{1}{\cos y}$$
となるが、$-\pi/2<y<\pi/2$ より $\cos y>0$ なので $(\arcsin x)^\prime=1/\sqrt{1-x^2}$ である。
よって、
\begin{equation*}
\begin{split}
\left(t\sqrt{4-t^2}+4\arcsin\frac{t}{2}\right)^\prime
=& \sqrt{4-t^2}+\frac{-t^2}{\sqrt{4-t^2}}+\frac{2}{\sqrt{1-(t/2)^2}} \\
=& \sqrt{4-t^2}+\frac{-t^2}{\sqrt{4-t^2}}+\frac{4}{\sqrt{4-t^2}} \\
=& \sqrt{4-t^2}+\frac{4-t^2}{\sqrt{4-t^2}} \\
=& 2\sqrt{4-t^2}.
\end{split}
\end{equation*}

\textbf{注意} $\arcsin x$ を $1/\sin x$ などと混同しないように注意。

\item[2.] 
$t\neq 0$ のとき、$x$ が $t$ の近くでも $f(x)=x^2 \sin(1/x)$ となるから、$t$ の近くで
$$f^\prime(x)=\left(x^2\sin\frac{1}{x}\right)^\prime=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$$
となる。よって $x\neq 0$ のときはつねに
$$f^\prime(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$$
となる。一方 $x=0$ のとき
$$f^\prime(0)=\lim_{x\rightarrow 0} x\sin\frac{1}{x}$$
となるが、$\abs{x\sin(1/x)}\leq \abs{x}$ であるから $f^\prime(0)=0$ となる。

$t\neq 0$ のとき、$x$ が $t$ の近くで、$f^\prime(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ となるから、$f^\prime(x)$ は $x=t$ で
連続である。一方、$f^\prime(0)=0$ だが、$x\neq 0$ が $0$ に近いとき $f^\prime(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ となる。
これは $0$ に近づかない（たとえば、$n$ が $0$ でない整数で $x=1/(2\pi n)$ のとき $f^\prime(x)=-1$ となる）ので、
$f^\prime(x)$ は $x=0$ では連続ではない。(30点)

\textbf{注意} $\lim_{x\rightarrow 0}x\sin(1/x)=\lim_{y\rightarrow\pm\infty}(\sin y)/y$ を
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}x\sin(1/x)=\lim_{y\rightarrow 0}(\sin y)/y=1$ と混同しないように注意。

\item[3.] 1) $x=\tan y, -\pi/2<y<\pi/2$ とおくと
$$(\arctan x)^\prime=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}=\cos^2 y=\frac{1}{1+\tan^2 y}=\frac{1}{1+x^2}$$
となる。一方 $x>0$ のとき
$$1-x^2=\frac{1-x^4}{1+x^2}<\frac{1}{1+x^2}<\frac{1+x^6}{1+x^2}=1-x^2+x^4$$
で、$x-x^3/3, \arctan x, x-x^3/3+x^5/5$ はいずれも $x=0$ のときに $0$ となるから、$x>0$ のとき
$$x-\frac{x^3}{3}<\arctan x<x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}$$ となる。(15点)

2) (10点) $\theta=\arctan(1/5), \psi=\arctan(1/239$ とおくと $\tan\theta=1/5, \tan\psi=1/239$ となる。よって
\begin{equation*}
\begin{split}
\tan(2\theta)= & \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}=\frac{5}{12}, \\
\tan(4\theta)= & \frac{2\tan(2\theta)}{1-\tan^2 (2\theta)}=\frac{120}{119}, \\
\tan(4\theta-\psi)= & \frac{\tan(4\theta)-\tan(\psi)}{1+\tan(4\theta)\tan\psi} \\
= & \frac{1+\frac{1}{119}-\frac{1}{239}}{1+\frac{120}{119\times 239}} \\
= & 1
\end{split}
\end{equation*}
となる。よって $4\theta-\psi=\frac{\pi}{4}+n\pi$ となる整数 $n$ が存在するが、
$0<\tan\theta, \tan\psi<1$ なので $0<\psi, \theta<\pi/4$ となるから、$-\pi/4<4\theta-\psi<\pi$ となる。よって
$$4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=4\theta-\psi=\frac{\pi}{4}.$$

\textbf{注意} この問題は正確な値をわかりやすい形であらわす問題であるので、1) とは直接は関係しない。
1) は次の 3) で利用する。

3) 2) を用い、それから 1) を利用すると
$$\frac{\pi}{4}=4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}>\frac{4}{5}-\frac{4}{375}-\frac{1}{239}$$
となるが、$4/5=0.8$, $4/375=32/3000=0.010666\cdots$, $1/239=0.0041841\cdots$ なので
$\pi/4>0.8-0.0107-0.0042>0.785$ となる。よって $\pi>3.14$ となる。(15点)
\end{itemize}
\noindent
\end{document}