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\begin{document}

\title{微分積分入門1 試験問題}

\author{担当 山田智宏}
\date{}
\maketitle

計算・論証の過程を式と文章によって説明すること。ただし講義中に取り扱った判定法や補題、定理など、
および高等学校までに学習している定理（三角関数の加法定理など）は証明なしで用いてよい。

\begin{itemize}
\item[1.] 次の関数を $t$ で微分せよ。

1) $t^2 \sin t$. (10点)

2) $f^\prime(x)=\frac{1}{\log x}$ のとき $f(e^t)$. (15点)

3) $\log\frac{2+\sqrt{4-t^2}}{t} (-2<t<2)$. (20点)

\item[2.] $t>0$ において $f(t)=(1+1/t)^t$ により定義される関数はどのように増減するか？ (15点)

\item[3.] 次の不等式を示せ。

1) (20点) $x>0$ のとき $$x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.$$

2) (20点) $x>0$ のとき $$e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$$ かつ $0<x<1$ のとき $$e^x<\frac{1}{1-x}.$$
\end{itemize}
\noindent
\end{document}