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\begin{document}

\title{微分積分入門1 試験解答例}

\author{担当 山田智宏}
\date{}
\maketitle

計算・論証の過程を式と文章によって説明すること。ただし講義中に取り扱った判定法や補題、定理など、
および高等学校までに学習している定理（三角関数の加法定理など）は証明なしで用いてよい。

\begin{itemize}
\item[1.] 1) (10点) $(t^2 \sin t)^\prime=2t\sin t+t^2\cos t$.

2) (15点) $(f(e^t))^\prime=f^\prime(e^t)(e^t)^\prime=e^t/\log(e^t)=e^t/t$. 

3) (20点) まず
\begin{equation*}
\begin{split}
\left(\frac{2+\sqrt{4-t^2}}{t}\right)^\prime= & \frac{-t}{t\sqrt{4-t^2}} -\frac{2+\sqrt{4-t^2}}{t^2} \\
= & -\frac{1}{\sqrt{4-t^2}}-\frac{2+\sqrt{4-t^2}}{t^2} \\
= & -\frac{2+\frac{4-t^2}{\sqrt{4-t^2}}+\frac{t^2}{\sqrt{4-t^2}}}{t^2} \\
= & -\frac{2+\frac{4}{\sqrt{4-t^2}}}{t^2}
\end{split}
\end{equation*}
なので
\begin{equation*}
\begin{split}
\left(\log \frac{2+\sqrt{4-t^2}}{t}\right)^\prime
= & -\frac{\left(2+\frac{4}{\sqrt{4-t^2}}\right)/t^2}{(2+\sqrt{4-t^2})/t} \\
= & -\frac{2+\frac{4}{\sqrt{4-t^2}}}{t(2+\sqrt{4-t^2})} \\
= & -\frac{2\sqrt{4-t^2}+4}{t(2+\sqrt{4-t^2})\sqrt{4-t^2}} \\
= & -\frac{2}{t\sqrt{4-t^2}}.
\end{split}
\end{equation*}

\item[2.] $f(t)=e^{t\log(1+1/t)}$ なので、
$$\frac{f^\prime(t)}{f(t)}=(t\log(1+1/t))^\prime=\log(1+1/t)+t\frac{-1/t^2}{1+1/t}=\log (1+1/t)-\frac{1}{1+t}$$
となる。そこで、$u=1/t$ とおくと右辺は $\log(1+u)-u/(1+u)$ となる。これを $g(u)$ とおくと
$g(0)=0$ かつ $u>0$ のとき $g^\prime(u)=1/(1+u)-1/(1+u)^2>0$ となるから $u>0$ のとき $g(u)>0$、
つまり $t>0$ のとき $f^\prime(t)/f(t)>0$ となる。$f(t)$ は明らかに正であるから $t>0$ のとき
$f^\prime(t)>0$ となる。つまり $f(t)$ は $t>0$ において単調増加である。 (15点)

\item[3.] 1) (20点) $\sin 0=0$ かつ $x>0$ のとき $0<\cos x<1$ なので、$x>0$ のとき $0<\sin x<x$ となる。つまり
$x>0$ のとき $0>(\cos x)^\prime=-\sin x>-x$ となる。これと $\cos 0=1$ から、$x>0$ のとき
$$\cos x>1-\frac{x^2}{2}$$
となる。再び $\sin 0=0$ を用いると $x>0$ のとき
$$\sin x>x-\frac{x^3}{6}$$
となる。つまり $x>0$ のとき $(\cos x)^\prime<-x+x^3/6$ となるので、再び $\cos 0=1$ を用いると $x>0$ のとき
$$\cos x<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$
となる。再び $\sin 0=0$ を用いると $x>0$ のとき
$$\sin x<x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.$$

2) (20点) $e^0=1$ かつ $x>0$ のとき $(e^x)^\prime=e^x>1$ なので、$x>0$ のとき $e^x>1+x$. 再び $e^0=1$ より
$e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$. 一方、$0\leq t<x$ のとき $(e^t)^\prime=e^t<e^x$ だから、
$0\leq t\leq x$ のとき $e^t<1+te^x$ となる。とくに $e^x<1+xe^x$ つまり $(1-x)e^x<1$ となるので、$0<x<1$ のとき
$$e^x<\frac{1}{1-x}.$$
\end{itemize}
\noindent
\end{document}