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\DeclareMathOperator{\arctanh}{arctanh}

\begin{document}

\title{微分積分1 （2023火1／山田）レポート問題}

\date{}
\maketitle

計算・論証の過程を式と文章によって説明すること。ただし講義中に取り扱った判定法や補題、定理など、
および高等学校までに学習している定理（三角関数に関する加法定理などの基本公式、指数関数・対数関数・三角関数の
微分法）は証明なしで用いてよい。

\begin{itemize}
\item[1.] 双曲線関数を
$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$$
により定める。つぎの公式を証明せよ。

1) $\cosh x=\sqrt{1+\sinh^2 x}$. (10点)

2) $\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$. (10点)

3) $\displaystyle \arctanh x=\frac{1}{2}\log \frac{1+x}{1-x}$. ただし $\abs{x}<1$ について
$t=\arctanh x$ は $\tanh t=x$ となる $t$ と定める。(15点)


\item[2.] 次の関数を $t$ で微分せよ。

1) $\displaystyle \left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}$. (15点) ~ 2) $\tanh t$. (15点)

\item[3.] $f(x)$ を $f(0)=0$ かつ $x\neq 0$ のとき
$$f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$$
により定義する。

1) $f(x)$ は実数全体で微分可能であることを確かめ、$f^\prime(x)$ を求めよ。(15点)

2) $f^\prime(x)$ は実数全体で連続か？連続でない点があるとき、その点を求めよ。(20点)


\end{itemize}
\noindent
\end{document}