\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[12pt]{jarticle}

\usepackage{amsfonts}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{headings}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{example}[thm]{Example}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]

\newcommand{\envert}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\let\abs=\envert
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\fracpart}[1]{\left\{#1\right\}}

\setlength{\hoffset}{-20mm} 
\setlength{\voffset}{0mm}  
\addtolength{\voffset}{-85pt} 
%\setlength{\oddsidemargin}{20mm}
\setlength{\topmargin}{0pt}
\setlength{\headheight}{60pt}
\setlength{\headsep}{25pt}
\addtolength{\headsep}{2mm} 
\setlength{\marginparsep}{0pt}
\setlength{\marginparwidth}{0pt}
\setlength{\textheight}{230mm}
\setlength{\textwidth}{150mm}
\setlength{\columnsep}{8mm}

\newcommand{\Bu}{{\mathbf{u}}}
\newcommand{\Bv}{{\mathbf{v}}}

\newcommand{\BR}{{\mathbf{R}}}
\newcommand{\BQ}{{\mathbf{Q}}}
\newcommand{\BZ}{{\mathbf{Z}}}

\begin{document}

\title{���w�Z���ȓ��e�_�Z���i��2��-��3��j}

\author{�R�c�q�G(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\section{���R���̉��@}

���@�͓�̗ʂ����킹�����̂ł���B

��̗� $A$ �� $B$ �����킹�����̂� $A+B$ �Ə����A
$A$ �� $B$ �̘a�ƌĂԁB

\begin{example}
$3+2=(1+1+1)+(1+1)=1+1+1+1+1=5.$
\end{example}

���R���_�ɂ����ẮA���@�� $a+0=a, a+b^+=(a+b)^+$ �ɂ��A��`�����B

\begin{example}
$3+2=(3+1)^+=(3+0)^{++}=3^{++}=4^+=5.$
$10+1=11, 11+1=12, \cdots, 18+1=19$ 
\end{example}

\begin{table}
\caption{1���̐��̉��@}\label{tbl1}
\begin{small}
\begin{tabular}{ c || c | c | c | c | c | c | c | c | c | c}
 \hline
$a, b$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\
 \hline\hline
$0$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\
$1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ \\
$2$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ \\
$3$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ \\
$4$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ \\
$5$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ \\
$6$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ \\
$7$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ \\
$8$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ & $17$ \\
$9$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ & $17$ & $18$ \\
 \hline
\end{tabular}
\end{small}
\end{table}

���@�ɑ΂��ẮA���̖@�������藧�B

\begin{itemize}
\item[1.] �i�����@���j $(a+b)+c=a+(b+c).$
\item[2.] �i�����@���j $a+b=b+a.$
\item[3.] $a+b=a+c$ �Ȃ�� $b=c.$ �܂��A $a+c=b+c$ �Ȃ�� $a=b.$
\end{itemize}
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item[1.] $c=0$ �̂Ƃ��i���ׂĂ� $a, b$ �ɑ΂��āj $a+(b+0)=a+b=(a+b)+0$ ���A�������B
�܂��A���� $c$ �ɑ΂��� $a+(b+c)=(a+b)+c$ �Ɖ��肷��ƁA
$a+(b+c^+)=a+(b+c)^+=(a+(b+c))^+=((a+b)+c)^+=(a+b)+c^+$ �ł���B
����Đ��w�I�A�[�@���A���ׂĂ� $(a, b,) c$ �ɂ��� $a+(b+c)=(a+b)+c$ �ł���B

\item[2.] �܂��A $a+b^+=a^+ +b$ �������B $b=0$ �̂Ƃ��i���ׂĂ� $a$ �ɑ΂��āj $a+0^+=a^+=a^+ +0$ �ł���B
�܂��A$a+b^+=a^+ +b$ �Ƃ����
$a+b^{++}=(a+b^+)^+=(a+b)^{++}=(a^+ +b)^+=a^+ +b^+$ �ł��邩��A
���w�I�A�[�@��� $a+b^+=a^+ +b$ �ł���B

���� $a+b=b+a$ �������B $b=0$ �̂Ƃ��i���ׂĂ� $a$ �ɑ΂��āj $a+0=a=0+a$ �ł���B
$a+b=b+a$ �Ȃ�΁A
$a+b^+=(a+b)^+=(b+a)^+=b+a^+=b^+ +a$ �ł��邩��A
���w�I�A�[�@��� $a+b=b+a$ �ł���B

\item[3.] $a+b=a+c$ �Ȃ�� $b=c$ �������B
$a=0$ �̂Ƃ��A$0+b=0+c$ �Ȃ�� $b=0+b=0+c=c$ �ł���B

���� $a$ �ɑ΂��A�u $a+b=a+c$ �Ȃ�� $b=c$ �v�����藧�Ȃ�A
$S(a)+b=S(a)+c$ �̂Ƃ��A $S(a+b)=S(a)+b=S(a)+c=S(a+c)$ ��� $a+b=a+c$ �ł��邩��A $b=c$ �ł���B
����Đ��w�I�A�[�@���A�i���ׂĂ� $a$ �ɑ΂��āj $a+b=a+c$ �Ȃ�� $b=c$ �����藧�B

��i�������B�����@������A $a+c=b+c$ �̂Ƃ��A $c+a=a+c=b+c=c+b$ ���A�O�i���� $a=b$ �ł��邱�Ƃ��]���B
\end{itemize}
\end{proof}

\subsection{2���̐��̉��@}

1���̐��̉��@�ɂ��ẮA��ɋ��߂��̂ŁA������ 2���̐��̘a $\underline{a_1a_0}+\underline{b_1b_0}$ ��
�v�Z�̎d���ɂ��Ď�舵���B

���@�Ɋւ��錋���@���A�����@�����
\begin{equation}
\underline{a_1a_0}+\underline{b_1b_0}=(10a_1+a_0)+(10b_1+b_0)
=(10a_1+10b_1)+(a_0+b_0)
\end{equation}
�ƂȂ邱�Ƃ��킩��B

�����ŁA��ɏq�ׂ�A��@�Ɋւ��镪�z�@�����g���ƁA
$10a_1+10b_1=10(a_1+b_1)$ �ƂȂ�̂ŁA
\begin{equation}
\underline{a_1a_0}+\underline{b_1b_0}=10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)
\end{equation}
�ƂȂ�B

�����ŁA $a_0+b_0, a_1+b_1$ ��������� $0, 1, \ldots, 9$ �̂����ꂩ�Ȃ�΁A
���̂܂� $\underline{a_1a_0}+\underline{b_1b_0}$ �������\�����Ƃ��ł��邪�A
���ۂɂ́A $a_0+b_0, a_1+b_1$ �� $10, 11, \ldots, 18$ �̒l����肤��B

�����ŁA $a_0+b_0$ �� $10, 11, \ldots, 18$ �̂����ꂩ�ł���Ƃ��A
$c_0=a_0+b_0-10$ �Ƃ����ƁA $c_0$ �� $0, 1, \ldots, 8$ �̂����ꂩ�̐��ł���A
����
\begin{equation}
10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=10(a_1+b_1)+c_0+10=10(a_1+b_1+1)+c_0
\end{equation}
�ƂȂ�B

��ʂɁA
\begin{equation}\label{eq31}
c_0=\begin{cases}a_0+b_0,\\ a_0+b_0-10,\end{cases} d_0=\begin{cases}0 &\text{if } a_0+b_0=0, 1, \ldots, 9\\
1 &\text{if }a_0+b_0=10, 11, \ldots, 18\end{cases}
\end{equation}
�Ƃ����΁A���
$10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=10(a_1+b_1)+c_0+10=10(a_1+b_1+d_0)+c_0$ �ƂȂ�B

���ɁA $a_1+b_1$ �� �\\ref{tbl1} �ɏ]���ċ��߂邱�Ƃ��ł���B
$d_0$ �� $0$ �� $1$ ������A$a_1+b_1+d_0$ �͂����ɋ��߂���B
$a_1+b_1+d_0$ �� $0, 1, \ldots, 19$ �̂����ꂩ�ł���B�����ŁA
\begin{equation}\label{eq32}
c_1=\begin{cases}a_1+b_1+d_0,\\ a_1+b_1+d_0-10,\end{cases} d_1=\begin{cases}0 &\text{if } a_1+b_1+d_0=0, 1, \ldots, 9\\
1 &\text{if }a_1+b_1+d_0=10, 11, \ldots, 19\end{cases}
\end{equation}
�Ƃ���ƁA
$a_1+b_1+d_0=10d_1+c_1$ ���A
\begin{equation}
10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=10(a_1+b_1+d_0)+c_0=100d_1+10c_1+c_0
\end{equation}
�ƂȂ�B
�܂�A$\underline{a_1a_0}+\underline{b_1b_0}=\underline{d_1c_1c_0}$ �ƂȂ�B

������A���̂悤�Ȑ}���ɂ��A�悭�m���Ă���M�Z�Ƃ��ĕ\�L���邱�Ƃ��ł���B

\begin{tabular}{ c c c c c c}
 & $a_1$ & $a_0$ \\
+) & $b_1$ & $b_0$ \\
 \hline
$d_1$ & $c_1$ & $c_0$
\end{tabular}

\begin{example}
$36+64$ �����߂�B

$6+4=10$ ��� $d_0=1, c_0=0$, $3+6=9, 9+1=10$ ��� $d_1=1, c_1=0$ �ł���B����� $36+64=100$ �𓾂�B
\end{example}

\subsection{��ʂ̉��@}

�����ł́A��ʂ�2���̘a $\underline{a_n\cdots a_1a_0}+\underline{b_m\cdots b_1b_0}$ �̌v�Z�̎d���ɂ��Ď�舵���B

�܂��A�����̈Ⴂ������Ƃ��́A $1234+567=1234+0567, 123+4567=0123+4567$ �Ƃ�����
��� $0$ �𖄂߂邱�ƂŌ��������킹�邱�Ƃ��ł���B���������āA $n=m$ �Ƃ��Ă悢�B

�܂��A(\ref{eq31}), (\ref{eq32}) �ɂ�� $c_0, d_0, c_1, d_1$ ���߂�B����ɂ����
$1$ �̈ʂ���� $10$ �̈ʂ͌��肷��B

���� $10^2$ �̈ʂ��߂�B
$10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=10(a_1+b_1+d_0)+c_0=100d_1+10c_1+c_0$ ������
$100(a_2+b_2)+10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=100(a_2+b_2+d_1)+10c_1+c_0$ �ł���B
����āA(\ref{eq32}) �Ɠ��l�� 
\begin{equation}
\begin{split}
c_2=\begin{cases}a_2+b_2+d_1,\\ a_2+b_2+d_1-10,\end{cases} d_2=\begin{cases}0 &\text{if } a_2+b_2+d_1=0, 1, \ldots, 9\\
1 &\text{if }a_2+b_2+d_1=10, 11, \ldots, 19\end{cases}
\end{split}
\end{equation}
�ƒ�߂�΁A
$100(a_2+b_2)+10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=10^3d_2+10^2c_2+10c_1+c_0$ �ł���B�ȉ����l�ɁA
$c_0, c_1, \ldots, c_{k-1}, d_0, d_1, \ldots, d_{k-1}$ �܂Œ�܂�����
\begin{equation}
\begin{split}
c_k=\begin{cases}a_k+b_k+d_{k-1},\\ a_k+b_k+d_{k-1}-10,\end{cases} d_k=\begin{cases}0 &\text{if } a_k+b_k+d_{k-1}=0, 1, \ldots, 9\\
1 &\text{if }a_k+b_k+d_{k-1}=10, 11, \ldots, 19\end{cases}
\end{split}
\end{equation}
�ɂ�� $c_k, d_k$ ���߂�B���̂Ƃ�
$\underline{a_n\cdots a_1a_0}+\underline{b_n\cdots b_1b_0}=\underline{d_{n+1}c_n\cdots c_1c_0}$
�ƂȂ�B

������A���̂悤�Ȑ}���ɂ��A�悭�m���Ă���M�Z�Ƃ��ĕ\�L���邱�Ƃ��ł���B

\begin{tabular}{ c c c c c c}
 & $a_n$ & $a_{n-1}$ & $\cdots$ & $a_1$ & $a_0$ \\
+) & $b_n$ & $b_{n-1}$ & $\cdots$ & $b_1$ & $b_0$ \\
 \hline
$d_{n+1}$ & $c_n$ & $c_{n-1}$ & $\cdots$ & $c_1$ & $c_0$
\end{tabular}

\begin{example}
$999999+10001$ �����߂�B

$9+1$ ��� $d_0=1, c_0=0$, $9+0=9, 9+1=10$ ��� $d_1=1, c_1=0$ �ŁA ���l�ɂ��� $d_2=d_3=1, c_2=c_3=0$ �ł���B
$9+1=10, 10+1=11$ ��� $d_4=1, c_4=0$, $9+0=9, 9+1=10$ ��� $d_5=1, c_5=1$ �ł���B�����
$999999+10001=1100000$ �𓾂�B
\end{example}

\noindent
\end{document}
