\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[12pt]{jarticle}

\usepackage{amsfonts}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{headings}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{example}[thm]{Example}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]

\newcommand{\envert}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\let\abs=\envert
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\fracpart}[1]{\left\{#1\right\}}

\setlength{\hoffset}{-20mm} 
\setlength{\voffset}{0mm}  
\addtolength{\voffset}{-85pt} 
%\setlength{\oddsidemargin}{20mm}
\setlength{\topmargin}{0pt}
\setlength{\headheight}{60pt}
\setlength{\headsep}{25pt}
\addtolength{\headsep}{2mm} 
\setlength{\marginparsep}{0pt}
\setlength{\marginparwidth}{0pt}
\setlength{\textheight}{230mm}
\setlength{\textwidth}{150mm}
\setlength{\columnsep}{8mm}

\newcommand{\Bu}{{\mathbf{u}}}
\newcommand{\Bv}{{\mathbf{v}}}

\newcommand{\BR}{{\mathbf{R}}}
\newcommand{\BQ}{{\mathbf{Q}}}
\newcommand{\BZ}{{\mathbf{Z}}}

\begin{document}

\title{���w�Z���ȓ��e�_�Z���i��2��j}

\author{�R�c�q�G(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\section{���R���̉��@�̊�b}

\subsection{���@�̒�`}

���@�͓�̗ʂ����킹�����̂ł���B���Ɏ��R���̏ꍇ�ɂ͘a�́u���̍��v�v�ƌ��邱�Ƃ��ł���B
��̗� $A$ �� $B$ �����킹�����̂� $A+B$ �Ə����A
$A$ �� $B$ �̘a�ƌĂԁB

\begin{example}
$3+2=(1+1+1)+(1+1)=1+1+1+1+1=5.$
\end{example}

�����u�W���̗v�f�̌��v�Ƃ���ϓ_���猾���΁A
��̏W�����������������A�����������W���̗v�f�̌��́A���Ƃ̏W�����ꂼ��̗v�f��
���݂̂ɂ���Ē�܂�A�����̏W���̗v�f�����ł��邩�ɂ͈ˑ����Ȃ��B

���ہA$a=\abs{S}=\abs{U}, b=\abs{T}=\abs{V}$ �ł���A $S, T$ �����ʂ̗v�f���������A $U, V$ �����ʂ̗v�f�������Ȃ��Ƃ��A
$\abs{S\cup T}=\abs{U\cup V}$ �ł���B

\begin{example}
$S=\{\leftarrow, \rightarrow\}, T=\{\uparrow, \downarrow\}$ �̂Ƃ��A
$S\cup T=\{\leftarrow, \rightarrow, \uparrow, \downarrow\}$ ��� $\abs{S}=\abs{T}=2, \abs{S\cup T}=4$.
$S=\{\heartsuit, \diamondsuit\}, T=\{\clubsuit, \spadesuit\}$ �̂Ƃ��A
$S\cup T=\{\heartsuit, \diamondsuit, \clubsuit, \spadesuit\}$ ��� $\abs{S}=\abs{T}=2, \abs{S\cup T}=4$.
\end{example}

����ŗǂ������Ɏv���邪�A���肪����B���Ƃ��� $S=\{0, 1, 2\}, T=\{3, 4, 5\}$
�̏ꍇ $S\cup T=\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ �ƂȂ� $\abs{S}=\abs{T}=3, \abs{S\cup T}=6$
�ƂȂ�B������ $S=\{0, 1, 2\}, T=\{2, 3, 4\}$ �Ƃ���� $S\cup T=\{0, 1, 2, 3, 4\}$ �ƂȂ�
$\abs{S}=\abs{T}=3$ �ł���̂� $\abs{S\cup T}=5$ �ƂȂ�A��قǂ̗�ƈ�v���Ȃ��B

���̌����͂Ƃ���Ȃ������A $2$ �� $S$ �� $T$ �̗����Ɋ܂܂�Ă��邽�߂ł���B�����
���̕��@�ŉ��@���`����Ƃ��� $S\cap T=\phi$ �ł��邱�Ƃ�O��Ƃ��Ă����B

���̂悤�ȑO���u�����Ƃ��������@�Ƃ��ẮA�����W�������ہA���̏W�����قȂ���̂�
�ʁX�ɐ�����悤�ɂ�����@������B

���Ƃ��� $S$ �̗v�f�ɂ� $S$ �̗v�f�ł��邱�Ƃ𖾎�����悤���x�������A ��̗�ł�
$0_S, 1_S, 2_S, 2_T, 3_T, 4_T$ �Ƃ��Ă����B��������΍����W���� $\{0_S, 1_S, 2_S, 2_T, 3_T, 4_T\}$
�ƂȂ� $6$ �̗v�f���܂�ł���B

�����A ���̂ق��ق��ł͎������g�ƍ��������鎞�A���Ƃ��Ώ�� $S$ �ł���Ό���
$S$ �� $S$ �̍����W���� $\{0_S, 1_S, 2_S\}$ �ƂȂ��āA $3$ �̗v�f�����܂܂�Ȃ����ƂɂȂ�B

�����ŒP���ɓ�̏W���̍����W���ɂ����Ă͍����̏W���ɗR������v�f�ɂ� $0$ ���A
�E���̏W���ɗR������v�f�ɂ� $1$ �����x�������邱�Ƃɂ���B���������
$S$ �� $S$ �̍����W���ł� $S$ �� $T$ �̍����W���ł� $\{0_0, 1_0, 2_0, 0_1, 1_1, 2_1\}$
�ƂȂ�A $6$ �̗v�f���܂�ł���B

���̂悤�ɂ��č�����W���� $S\amalg T$ �Ə����B���̊�ȋL���̗R���͐ςƊ֌W������̂Ō�ɐ�������B

�������邱�ƂŘa�Ƃ� $S\amalg T$ �̗v�f�̌��ƒ�`���邱�Ƃ��ł���B�������̒�`���g����
�a�Ɋւ��鏔�@�����ؖ�����̂��኱�ʓ|�ɂȂ�B����Ă��̍ۂɂ͒P���Șa�W���Ɋ�Â��ċc�_����̂��ȒP�ł���B
�������̏ꍇ�A��Ɋ֘A����W���͋��ʕ����������Ȃ��Ɖ��肵�Ă����K�v������B

���R���������I�ɒ�`����ɂ������āA�����ɋA�[�I�ɒ�`������@��
�W�������p���Ē�`������@���������悤�ɁA�a�̒�`�ɂ������ɋA�[�I�ɒ�`����
���@�ƁA�W�������p���Ē�`������@������B

���R���ɁA�W���̊T�O�����p������`�Ə����ȋA�[�I��`�����݂����悤�ɁA���@��
��L�̂悤�ɏW���̊T�O�����p������`�Ə����ȋA�[�I��`�����݂���B
�����ɋA�[�I�ɒ�`����̂͒P���ŁA $a+0=a, a+b^+=(a+b)^+$ �ɂ��A���@����`�����B

\begin{example}
$3+2=(3+1)^+=(3+0)^{++}=3^{++}=4^+=5.$
$10+1=11, 11+1=12, \cdots, 18+1=19$ 
\end{example}

1���̐����m�̘a�͕\\ref{tbl1}�Ɏ����Ă���B

\begin{table}
\caption{1���̐��̉��@}\label{tbl1}
\begin{small}
\begin{tabular}{ c || c | c | c | c | c | c | c | c | c | c}
 \hline
$a, b$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\
 \hline\hline
$0$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\
$1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ \\
$2$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ \\
$3$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ \\
$4$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ \\
$5$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ \\
$6$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ \\
$7$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ \\
$8$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ & $17$ \\
$9$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ & $17$ & $18$ \\
 \hline
\end{tabular}
\end{small}
\end{table}

\subsection{��{�I�ȏ��@��}

���@�ɑ΂��ẮA�悭�m���Ă���ʂ�A���̖@�������藧�B

\begin{itemize}
\item[1.] �i�����@���j $(a+b)+c=a+(b+c).$
\item[2.] �i�����@���j $a+b=b+a.$
\end{itemize}
\begin{proof}
�ȉ��A $A, B, C$ ���ǂ̓�����ʕ����������Ȃ��W����
$\abs{A}=a, \abs{B}=b, \abs{C}=c$ �ƂȂ���̂Ƃ���B
\begin{itemize}
\item[1.]
$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ �ł��邩��A
$(a+b)+c=\abs{A\cup B}+\abs{C}=\abs{(A\cup B)\cup C}=\abs{A\cup (B\cup C)}
=\abs{A}+\abs{B\cup C}=\abs{A}+(\abs{B}+\abs{C})=a+(b+c)$ �ł���B

\item[2.] $A\cup B=B\cup A$ �ł��邩��A
$a+b=\abs{A\cup B}=\abs{B\cup A}=b+a$.
\end{itemize}
\end{proof}
�Ȃ��A�W���T�O�����p�����A�A�[�I�ɏؖ�����ꍇ�͈ȉ��̂悤�ɂȂ�B
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item[1.] $c=0$ �̂Ƃ��i���ׂĂ� $a, b$ �ɑ΂��āj $a+(b+0)=a+b=(a+b)+0$ ���A�������B
�܂��A���� $c$ �ɑ΂��� $a+(b+c)=(a+b)+c$ �Ɖ��肷��ƁA
$a+(b+c^+)=a+(b+c)^+=(a+(b+c))^+=((a+b)+c)^+=(a+b)+c^+$ �ł���B
����Đ��w�I�A�[�@���A���ׂĂ� $(a, b,) c$ �ɂ��� $a+(b+c)=(a+b)+c$ �ł���B

\item[2.] �܂��A $a+b^+=a^+ +b$ �������B $b=0$ �̂Ƃ��i���ׂĂ� $a$ �ɑ΂��āj $a+0^+=a^+=a^+ +0$ �ł���B
�܂��A$a+b^+=a^+ +b$ �Ƃ����
$a+b^{++}=(a+b^+)^+=(a+b)^{++}=(a^+ +b)^+=a^+ +b^+$ �ł��邩��A
���w�I�A�[�@��� $a+b^+=a^+ +b$ �ł���B

���� $a+b=b+a$ �������B $b=0$ �̂Ƃ��i���ׂĂ� $a$ �ɑ΂��āj $a+0=a=0+a$ �ł���B
$a+b=b+a$ �Ȃ�΁A
$a+b^+=(a+b)^+=(b+a)^+=b+a^+=b^+ +a$ �ł��邩��A
���w�I�A�[�@��� $a+b=b+a$ �ł���B
\end{itemize}
\end{proof}

�܂��A���̐������i��ʂɂ͖@���Ƃ��Ĉ����Ȃ����j���藧�B���̐����͉��@���̂��̂��l������
���ڏd�v�Ȗ������ʂ����킯�ł͂Ȃ����A���@�ւ̋��n���Ƃ��ďd�v�ł���B
\begin{itemize}
\item[3.] $a+b=a+c$ �Ȃ�� $b=c.$ �܂��A $a+c=b+c$ �Ȃ�� $a=b.$
\end{itemize}

\begin{proof}
$A, B, C$ ���ǂ̓�����ʕ����������Ȃ��W����
$\abs{A}=a, \abs{B}=b, \abs{C}=c$ �ƂȂ���̂Ƃ��A����� $\abs{A\cup B}=\abs{A\cup C}$ �����肷��B
���̂Ƃ���Έ�Ή� $f: A\cup B\rightarrow A\cup C$ �����݂���킯�����A���� $A$ �̗v�f�� $A$ �Ɏʂ����̂�
���݂���B���̂Ƃ� $f$ �� $B$ �ɐ����������̂� $B$ �� $C$ �̈�Έ�Ή��ƂȂ��Ă��邩��
$\abs{B}=\abs{C}$ �ł���B
\end{proof}

���̖@���Ɋւ��ẮA�W����ʑ��T�O�����p�����A�A�[�I�ɏؖ�����ق����P�������m��Ȃ��B
\begin{proof}
$a+c=b+c$ �Ȃ�� $a=b$ �������B
$c=0$ �̂Ƃ��A$a+0=b+0$ �Ȃ�� $a=a+0=b+0=b$ �ł���B

���� $c$ �ɑ΂��A�u $a+c=b+c$ �Ȃ�� $a=b$ �v�����藧�Ȃ�A
$a+c^+=b+c^+$ �̂Ƃ��A $(a+c)^+=a+c^+=b+c^+=(b+c)^+$ ��� $a+c=b+c$ �ł��邩��A $a=b$ �ł���B
����Đ��w�I�A�[�@���A�i���ׂĂ� $c$ �ɑ΂��āj $a+c=b+c$ �Ȃ�� $a=b$ �����藧�B

��i�������B�����@������A $a+b=a+c$ �̂Ƃ��A $a+b=b+a=c+a=a+c$ ���A�O�i���� $b=c$ �ł��邱�Ƃ��]���B
\end{proof}

����ɁA��葽���̍��̊Ԃł������@���E�����@�������藧�B���̂��Ƃ�
���Ƃ��� $A_1\cup A_2\cup \cdots A_n=A_n\cup A_{n-1}\cup \cdots \cup A_1$
�ƂȂ�悤�ɁA$n$ �̏W�� $A_1, A_2, \cdots, A_n$ �̍����́A���̏�����
�֌W�Ȃ��i$n$ �̏W���̂����ꂩ��ł��ǂ�����A���̗v�f�ł�����̑S�̂̏W���Ɓj
��܂鎖������킩��i���̗Ⴉ��͒��ڂɂ� $a_1+a_2+\cdots +a_n=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1$ �ƂȂ邱�Ƃ�
�������j�B

�܂��A2���̌����@���E�����@�����g��
\begin{gather*}
a+b+c=a+(b+c)=a+(c+b)=a+c+b,\\
a+b+c=b+a+c=b+c+a,\\
a+b+c=a+c+b=c+a+b=c+b+a
\end{gather*}
�Ƃ��������3���ȏ�̘a�̏����������\�ł��邱�Ƃ��������Ƃ��ł���B

\subsection{2���̐��̉��@}

1���̐��̉��@�ɂ��ẮA��ɋ��߂��̂ŁA������ 2���̐��̘a $\underline{a_1a_0}+\underline{b_1b_0}$ ��
�v�Z�̎d���ɂ��Ď�舵���B

�O���߂̍Ō�ɁA���@�Ɋւ��Ă͑����̍��̊Ԃ̌����@���A�����@�������藧�Əq�ׂ��B
���� 4�̍��̌����@���A�����@�����
\begin{equation}
\underline{a_1a_0}+\underline{b_1b_0}=(10a_1+a_0)+(10b_1+b_0)
=(10a_1+10b_1)+(a_0+b_0)
\end{equation}
�ƂȂ邱�Ƃ��킩��B

�����ŁA��ɏq�ׂ�A��@�Ɋւ��镪�z�@�����g���ƁA
$10a_1+10b_1=10(a_1+b_1)$ �ƂȂ�̂ŁA
\begin{equation}
\underline{a_1a_0}+\underline{b_1b_0}=10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)
\end{equation}
�ƂȂ�B

�����ŁA $a_0+b_0, a_1+b_1$ ��������� $0, 1, \ldots, 9$ �̂����ꂩ�Ȃ�΁A
���̂܂� $\underline{a_1a_0}+\underline{b_1b_0}$ �������\�����Ƃ��ł��邪�A
���ۂɂ́A $a_0+b_0, a_1+b_1$ �� $10, 11, \ldots, 18$ �̒l����肤��B

�����ŁA $a_0+b_0$ �� $10, 11, \ldots, 18$ �̂����ꂩ�ł���Ƃ��A
$c_0=a_0+b_0-10$ �Ƃ����ƁA $c_0$ �� $0, 1, \ldots, 8$ �̂����ꂩ�̐��ł���A
����
\begin{equation}
10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=10(a_1+b_1)+c_0+10=10(a_1+b_1+1)+c_0
\end{equation}
�ƂȂ�B

��ʂɁA
\begin{equation}\label{eq31}
c_0=\begin{cases}a_0+b_0,\\ a_0+b_0-10,\end{cases} d_0=\begin{cases}0 &\text{if } a_0+b_0=0, 1, \ldots, 9\\
1 &\text{if }a_0+b_0=10, 11, \ldots, 18\end{cases}
\end{equation}
�Ƃ����΁A���
$10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=10(a_1+b_1)+c_0+10=10(a_1+b_1+d_0)+c_0$ �ƂȂ�B

���ɁA $a_1+b_1$ �� �\\ref{tbl1} �ɏ]���ċ��߂邱�Ƃ��ł���B
$d_0$ �� $0$ �� $1$ ������A$a_1+b_1+d_0$ �͂����ɋ��߂���B
$a_1+b_1+d_0$ �� $0, 1, \ldots, 19$ �̂����ꂩ�ł���B�����ŁA
\begin{equation}\label{eq32}
c_1=\begin{cases}a_1+b_1+d_0,\\ a_1+b_1+d_0-10,\end{cases} d_1=\begin{cases}0 &\text{if } a_1+b_1+d_0=0, 1, \ldots, 9\\
1 &\text{if }a_1+b_1+d_0=10, 11, \ldots, 19\end{cases}
\end{equation}
�Ƃ���ƁA
$a_1+b_1+d_0=10d_1+c_1$ ���A
\begin{equation}
10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=10(a_1+b_1+d_0)+c_0=100d_1+10c_1+c_0
\end{equation}
�ƂȂ�B
�܂�A$\underline{a_1a_0}+\underline{b_1b_0}=\underline{d_1c_1c_0}$ �ƂȂ�B

������A���̂悤�Ȑ}���ɂ��A�悭�m���Ă���M�Z�Ƃ��ĕ\�L���邱�Ƃ��ł���B

\begin{tabular}{ c c c c c c}
 & $a_1$ & $a_0$ \\
+) & $b_1$ & $b_0$ \\
 \hline
$d_1$ & $c_1$ & $c_0$
\end{tabular}

\begin{example}
$36+64$ �����߂�B

$6+4=10$ ��� $d_0=1, c_0=0$, $3+6=9, 9+1=10$ ��� $d_1=1, c_1=0$ �ł���B����� $36+64=100$ �𓾂�B
\end{example}

\subsection{��ʂ̉��@}

�����ł́A��ʂ̓񐔂̘a $\underline{a_n\cdots a_1a_0}+\underline{b_m\cdots b_1b_0}$ �̌v�Z�̎d���ɂ��Ď�舵���B

�܂��A�����̈Ⴂ������Ƃ��́A $1234+567=1234+0567, 123+4567=0123+4567$ �Ƃ�����
��� $0$ �𖄂߂邱�ƂŌ��������킹�邱�Ƃ��ł���B���������āA $n=m$ �Ƃ��Ă悢�B

���āA2���̐��̉��@�̏ꍇ�Ɠ��l�ɂ��� (\ref{eq31}), (\ref{eq32}) �ɂ�� $c_0, d_0, c_1, d_1$ ���߂�B
����ɂ���� $1$ �̈ʂ���� $10$ �̈ʂ͌��肷��B

���� $10^2$ �̈ʂ��߂�B
$10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=10(a_1+b_1+d_0)+c_0=100d_1+10c_1+c_0$ ������
$100(a_2+b_2)+10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=100(a_2+b_2+d_1)+10c_1+c_0$ �ł���B
����āA(\ref{eq32}) �Ɠ��l�� 
\begin{equation}
\begin{split}
c_2=\begin{cases}a_2+b_2+d_1,\\ a_2+b_2+d_1-10,\end{cases} d_2=\begin{cases}0 &\text{if } a_2+b_2+d_1=0, 1, \ldots, 9\\
1 &\text{if }a_2+b_2+d_1=10, 11, \ldots, 19\end{cases}
\end{split}
\end{equation}
�ƒ�߂�΁A
$100(a_2+b_2)+10(a_1+b_1)+(a_0+b_0)=10^3d_2+10^2c_2+10c_1+c_0$ �ł���B�ȉ����l�ɁA
$c_0, c_1, \ldots, c_{k-1}, d_0, d_1, \ldots, d_{k-1}$ �܂Œ�܂�����
\begin{equation}
\begin{split}
c_k=\begin{cases}a_k+b_k+d_{k-1},\\ a_k+b_k+d_{k-1}-10,\end{cases} d_k=\begin{cases}0 &\text{if } a_k+b_k+d_{k-1}=0, 1, \ldots, 9\\
1 &\text{if }a_k+b_k+d_{k-1}=10, 11, \ldots, 19\end{cases}
\end{split}
\end{equation}
�ɂ�� $c_k, d_k$ ���߂�B���̂Ƃ�
$\underline{a_n\cdots a_1a_0}+\underline{b_n\cdots b_1b_0}=\underline{d_{n+1}c_n\cdots c_1c_0}$
�ƂȂ�B

������A���̂悤�Ȑ}���ɂ��A�悭�m���Ă���M�Z�Ƃ��ĕ\�L���邱�Ƃ��ł���B

\begin{tabular}{ c c c c c c}
 & $a_n$ & $a_{n-1}$ & $\cdots$ & $a_1$ & $a_0$ \\
+) & $b_n$ & $b_{n-1}$ & $\cdots$ & $b_1$ & $b_0$ \\
 \hline
$d_{n+1}$ & $c_n$ & $c_{n-1}$ & $\cdots$ & $c_1$ & $c_0$
\end{tabular}

\begin{example}
$999999+10001$ �����߂�B

$9+1$ ��� $d_0=1, c_0=0$, $9+0=9, 9+1=10$ ��� $d_1=1, c_1=0$ �ŁA ���l�ɂ��� $d_2=d_3=1, c_2=c_3=0$ �ł���B
$9+1=10, 10+1=11$ ��� $d_4=1, c_4=0$, $9+0=9, 9+1=10$ ��� $d_5=1, c_5=1$ �ł���B�����
$999999+10001=1100000$ �𓾂�B
\end{example}

\begin{example}
$100$ ���� $199$ �܂ł�$3$���̐����Ƃ�B���̐���$10$�i�\�L���t�ɂ����������A���̐��ƌ��̐��̘a�����B
���Ƃ��� $103+301=404, 197+791=988.$ �O�҂̂悤�ɓ���ꂽ����$10$�i�\�L�����E�Ώ́i���̂悤�Ȑ����񕶐��Ƃ����j�Ȃ�΂���ŏI���Ƃ��A
�����łȂ���� $988+889=1877, 1877+7781=9658, \ldots$ �̂悤�ɓ��l�̑�����J��Ԃ��B���̂悤�ɂ���Ƃ�����͉񕶐��ƂȂ���
�I��邾�낤���H
\end{example}

\noindent
\end{document}
