\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[12pt]{jarticle}

\usepackage{amsfonts}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{headings}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{example}[thm]{Example}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]

\newcommand{\envert}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\let\abs=\envert
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\fracpart}[1]{\left\{#1\right\}}

\setlength{\hoffset}{-20mm} 
\setlength{\voffset}{0mm}  
\addtolength{\voffset}{-85pt} 
%\setlength{\oddsidemargin}{20mm}
\setlength{\topmargin}{0pt}
\setlength{\headheight}{60pt}
\setlength{\headsep}{25pt}
\addtolength{\headsep}{2mm} 
\setlength{\marginparsep}{0pt}
\setlength{\marginparwidth}{0pt}
\setlength{\textheight}{230mm}
\setlength{\textwidth}{150mm}
\setlength{\columnsep}{8mm}

\newcommand{\Bu}{{\mathbf{u}}}
\newcommand{\Bv}{{\mathbf{v}}}

\newcommand{\BR}{{\mathbf{R}}}
\newcommand{\BQ}{{\mathbf{Q}}}
\newcommand{\BZ}{{\mathbf{Z}}}

\let\bs=\setminus

\begin{document}

\title{���w�Z���ȓ��e�_�Z���i��3��-��4��j}

\author{�R�c�q�G(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\section{���R���̌��@}


��̗� $A$ �� $B$ �ɂ��āA $A$ �� $B$ �Ɠ�����������傫�����A���̗ʂ̈Ⴂ�� $A-B$ �Ə����A
$A$ �� $B$ �̍��ƌĂԁB
\begin{example}
$5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=1+1=2.$
\end{example}

���𐔊w�I�ɂǂ̂悤�ɒ�`���邩���l����O�ɁA�܂����̑召�ɂ��čl�������B

$a=b+c$ �ƂȂ鎩�R�� $c$ �����݂���Ƃ��u $a$ �� $b$ ���傫�����܂��͓������v�u$a$ �� $b$ �ȏ�v�Ƃ���
$a\geq b$ �ł���킷�B���̎��́u $a$ ��Ȃ�C�R�[�� $b$ �v�ƓǂށB

�܂��A�u $b$ �� $a$ ��菬�������܂��͓������v�u $b$ �� $a$ �ȉ��v�Ƃ��� $b\leq a$ �ł���킷�B
���̎��́u $b$ ���Ȃ�C�R�[�� $a$ �v�ƓǂށB
���ɂ����� $c\neq 0$ �̂Ƃ� $a$ �� $b$ ���傫���Ƃ��� $a>b$ �ł���킷�B���̎��́u $a$ ��Ȃ� $b$ �v�ƓǂށB

�܂��u $b$ �� $a$ ��菬�����v�u $b$ �� $a$ �����v�Ƃ��� $b<a$ �ł���킷�B
���̎��� �u $b$ ���Ȃ� $a$ �v�ƓǂށB

�u�ȏ�v�́u�i������̂��N�_�Ƃ��Ă����j�����v
�u�ȉ��v�́u�i������̂��N�_�Ƃ��Ă����j���牺�v
�u�����v�́u�����������v�̈Ӗ��ł���B

\paragraph{}

���āA$a\geq b$ �ł���Ƃ��A$a=b+c$ �ƂȂ鎩�R�� $c$ �����݂���킯�����A
���@�̊�{�I�ȏ��@�� 3. �ŏq�ׂ����Ƃ���A���̂悤�Ȏ��R�� $c$ �͂���1�����Ȃ����Ƃ��킩��B
�����ł���� $a$ ���� $b$ ���������� $a-b$ �ƒ�߂邱�Ƃ��ł���B

\paragraph{}	

����A���̂̌��𐔂���Ƃ����ϓ_���璼�ڍ����`���邱�Ƃ��ł���B���Ȃ킿 $A\geq B$ ��
$A$ �̂��̂��� $B$ �̂��̂���菜�����Ƃ��A�c�������̂̌��͏�Ɉ��ƂȂ�B
���̌��� $A-B$ �ƒ�߂�B

����͉��@�̎��Ɠ��l�ɏW���T�O�����p����Ζ����ɒ莮���ł���B
�W�� $S$ �̗v�f�ł����ďW�� $T$ �̗v�f�łȂ����̑S�̂̏W���� $S$ �� $T$ �̍��W���Ƃ���
$S\backslash T$ ���邢�� $S-T$ �ł���킷�B����� $\abs{S}=A, \abs{T}=B$ ���� $T\subset S$ �̂Ƃ�
$A-B=\abs{S\bs T}$ �ɂ�荷���`�ł���B

\begin{example}
$\{0, 1, 2, 3, 4\}\bs\{0, 1, 2\}=\{3, 4\}$ ��� $5-3=2$.
$2+3=5$ ��� $5-2=3$. $37+74=111$ ��� $111-37=74$.
\end{example}

����2�̍��̒�`�͓��l�ł���B

\paragraph{}

�������ƍ������� 1���ɂȂ�Ƃ��̍���\\ref{tbl1} �Ɍf����B

\begin{table}
\caption{1���̐��̌��@}\label{tbl1}
\begin{small}
\begin{tabular}{ c || c | c | c | c | c | c | c | c | c | c}
 \hline
$a, b$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\
 \hline\hline
$0$ & $0$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
$1$ & $1$ & $0$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
$2$ & $2$ & $1$ & $0$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
$3$ & $3$ & $2$ & $1$ & $0$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
$4$ & $4$ & $3$ & $2$ & $1$ & $0$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
$5$ & $5$ & $4$ & $3$ & $2$ & $1$ & $0$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
$6$ & $6$ & $5$ & $4$ & $3$ & $2$ & $1$ & $0$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
$7$ & $7$ & $6$ & $5$ & $4$ & $3$ & $2$ & $1$ & $0$ & $-$ & $-$ \\
$8$ & $8$ & $7$ & $6$ & $5$ & $4$ & $3$ & $2$ & $1$ & $0$ & $-$ \\
$9$ & $9$ & $8$ & $7$ & $6$ & $5$ & $4$ & $3$ & $2$ & $1$ & $0$ \\
 \hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{ c || c | c | c | c | c | c | c | c | c | c}
 \hline
$a, b$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\
 \hline\hline
$10$ & $-$ & $9$ & $8$ & $7$ & $6$ & $5$ & $4$ & $3$ & $2$ & $1$ \\
$11$ & $-$ & $-$ & $9$ & $8$ & $7$ & $6$ & $5$ & $4$ & $3$ & $2$ \\
$12$ & $-$ & $-$ & $-$ & $9$ & $8$ & $7$ & $6$ & $5$ & $4$ & $3$ \\
$13$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $9$ & $8$ & $7$ & $6$ & $5$ & $4$ \\
$14$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $9$ & $8$ & $7$ & $6$ & $5$ \\
$15$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $9$ & $8$ & $7$ & $6$ \\
$16$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $9$ & $8$ & $7$ \\
$17$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $9$ & $8$ \\
$18$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $9$ \\
$19$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ & $-$ \\
 \hline
\end{tabular}
\end{small}
\end{table}

\subsection{��{�I�Ȗ@��}

���@�ɑ΂��ẮA���̊�{�I�Ȗ@�������藧�B

\begin{itemize}
\item[1.] $a-0=a.$
\item[2.] $a+b-b=a.$
\item[3.] $a\geq b$ �̂Ƃ� $a-b+b=a.$
\item[4.] $a\geq b$ �̂Ƃ� $a-(a-b)=b.$
\end{itemize}

\begin{proof}
\begin{itemize}
\item[1.] $0+a=a$ �ł��邩��A $a-0=a$ �ł���B
\item[2.] $(a+b)-b$ �Ƃ� $b+x=a+b$ �ƂȂ� $x$ ���Ȃ킿 $a$ �ł���B
\item[3.] $a-b+b=b+(a-b)=a.$
\item[4.] $a-(a-b)$ �Ƃ� $(a-b)+x=a$ �ƂȂ� $x$ �ł��邪�A 3. ��肻��� $b$ �ł���B
\end{itemize}
\end{proof}

���@�E���@�ɑ΂��ẮA���̖@�������藧�B

\begin{itemize}
\item[1.] $a\geq b$ �̂Ƃ� $a-b+c=a+c-b.$
\item[2.] $c\geq b$ �̂Ƃ� $a+c-b=a+(c-b).$
\item[3.] $a\geq b\geq c$ �̂Ƃ� $a-(b-c)=a-b+c.$
\item[4.] $a\geq b+c$ �̂Ƃ� $a-(b+c)=a-b-c=a-c-b.$
\item[5.] $a+c\geq b$ ���� $b\geq c$ �̂Ƃ� $a+c-b=a-(b-c).$
\end{itemize}

\begin{proof}
���@�Ɋւ��鏔�@���ƁA���@�Ɋւ����L�̊�{�I�ȓ������玟�̂悤�ɓ�����B
\begin{itemize}
\item[1.] $(a-b+c)+b=(a-b)+(c+b)=(a-b)+(b+c)=(a-b+b)+c=a+c$ ���
$a-b+c=a+c-b$ �ł���B
\item[2.] $a+(c-b)+b=a+((c-b)+b)=a+c$ ��� $a+(c-b)+b=a+c$ �ł���B
\item[3.] $a-b+c+(b-c)=a-b+(c+(b-c))=a-b+((b-c)+c)=(a-b)+b=a.$
\item[4.] $a-b-c+(b+c)=a-b+(b+c)-c=a-b+(b+c-c)=a-b+b=a.$
\item[5.] $a+c-b+(b-c)=a+c-(b-(b-c))=a+c-c=a.$
\end{itemize}

���ړ������Ƃ��ł���B$a=\abs{S}, b=\abs{T}, c=\abs{U}$ �Ƃ���B
\begin{itemize}
\item[1.] $T\subset S$ ���� $S, U$ �����ʕ����������Ȃ��Ƃ� $(S\bs T)\cup U=(S\cup U)\bs T$ �ł��邩�� $(a-b)+c=(a+c)-b$ �ł���B
\item[2.] $T\subset U$ ���� $S, U$ �����ʕ����������Ȃ��Ƃ� $(S\cup U)\bs T=S\cup (U\bs T)$ �ł��邩�� $(a+c)-b=a+(c-b)$ �ł���B
\item[3.] $U\subset T\subset S$ �̂Ƃ� $S\bs (T\bs U)=(S\bs T)\cup U$ �ł���A
�܂� $S\bs T$ �� $U$ �͋��ʕ����������Ȃ����� $a-(b-c)=a-b+c$ �ł���B
\item[4.] $T\subset S, U\subset S$ ���� $T, U$ �����ʕ����������Ȃ��Ƃ� $S\bs (T\cup U)=S\bs T\bs U$ �ł��邩��
$a-(b+c)=a-b-c$ �ł���B
\item[5.] $U\subset T\subset S\cup U$ ���� $S, U$ �͋��ʕ����������Ȃ��Ƃ���B���̂Ƃ� $T\sb U\subset S$ �ł���B
�܂� $S\sb (T\sb U)=(S\cup T)\sb U$ �ł���B����� $a+c-b=a-(b-c)$ �ł���B
\end{itemize}
\end{proof}\

���� 1. �� 2. ����A���@�ƌ��@�̏����͌����ł���Ƃ������Ƃ��ł���i�������ƈ�����鐔��
�����ł���Ƃ����킯�ł͂Ȃ����Ƃɒ��Ӂj�B

���w�ɂ����Ă͕��̐��𓱓����邱�Ƃɂ��A2���̑召�Ɋ֌W�Ȃ������`���邱�Ƃ��ł��邪�A
�Z���ɂ����Ă͐��̐���������Ȃ����ߍ� $a-b$ �� $a\geq b$ �ƂȂ�Ƃ��ɂ�����`�ł��Ȃ��B
����ŁA $a<b$ �ƂȂ�Ƃ��ɂ͏�� 5. �ɂ��o�Ă��� $a-b+c$ �̂悤�Ȃ��͎̂Z���ɂ����Ă͌v�Z�ł��Ȃ��Ȃ��Ă��܂��B


\subsection{��ʂ̌��@}

�����ł́A��ʂ�2���̍� $\underline{a_n\cdots a_1a_0}-\underline{b_m\cdots b_1b_0}$ �̌v�Z�̎d���ɂ��Ď�舵���B
�Ȃ��A$A=\underline{a_n\cdots a_1a_0}\geq B=\underline{b_m\cdots b_1b_0}$ �Ƃ���B

�܂��A�����̈Ⴂ������Ƃ��́A $1234-0567=1234-0567$ �Ƃ�����
��� $0$ �𖄂߂邱�ƂŌ��������킹�邱�Ƃ��ł���B���������āA $n=m$ �Ƃ��Ă悢�B

���@�̏ꍇ�Ɠ��l�ɂ���
\begin{equation}
\begin{split}
\underline{a_n\cdots a_1a_0}-\underline{b_n\cdots b_1b_0}
& =(10^n a_n+\cdots +10a_1+a_0)-(10^n b_n+\cdots +10b_1+b_0)\\
& =10^n a_n-10^n b_n+\cdots 10a_1-10b_1+a_0-b_0
\end{split}
\end{equation}
�ƂȂ�B

�����ŁA $a_i\geq b_i (i=0, 1, \ldots, n)$ �Ȃ�΁A
\begin{equation}
10^n a_n-10^n b_n+\cdots 10a_1-10b_1+a_0-b_0
=10^n(a_n-b_n)+\cdots 10(a_1-b_1)+(a_0-b_0)
\end{equation}
�ɂ�� $\underline{a_n\cdots a_1a_0}-\underline{b_n\cdots b_1b_0}$ �������\�����Ƃ��ł��邪�A
���ۂɂ́A $a_i<b_i$ �ƂȂ� $i$ �����݂��邱�Ƃ����肤��B

�������A���Ƃ��� $a_0<b_0$ �ł���Ƃ��A$c_0=10+a_0-b_0$ �͑O�߂̕\���狁�߂邱�Ƃ��ł��A
\begin{equation}
10^n a_n-10^n b_n+\cdots 10a_1-10b_1+a_0-b_0
=10^n a_n-10^n b_n+\cdots 10a_1-10b_1-10+c_0
\end{equation}
�ƂȂ�B
�����ŁA
\begin{equation}\label{eq31}
c_0=\begin{cases}a_0-b_0,\\ 10+a_0-b_0,\end{cases} d_0=\begin{cases}0 &\text{if } a_0\geq b_0\\
1 &\text{if }a_0<b_0\end{cases}
\end{equation}
�Ƃ����΁A$\underline{a_1a_0}\geq\underline{b_1b_0}$ �ł���Ƃ��͏��
$10a_1-b_1+a_0-b_0=10(a_1-(b_1+d_0))+c_0$ �ƂȂ�B

�����
\begin{equation}\label{eq32}
c_1=\begin{cases}a_1-(b_1+d_0),\\ 10+a_1-(b_1+d_0),\end{cases} d_1=\begin{cases}0 &\text{if } a_1\geq b_1+d_0\\
1 &\text{if }a_1<b_1+d_0\end{cases}
\end{equation}
�Ƃ���ƁA
$a_1+b_1+d_0=10d_1+c_1$ ���A
\begin{equation}\label{eq33}
100d_1+10a_1-b_1+a_0-b_0=10(10d_1+a_1-b_1-d_0)+c_0=10c_1+c_0
\end{equation}
�ƂȂ�B

���̂悤�ɂ��āA(\ref{eq31}), (\ref{eq32}) �ɂ�� $c_0, d_0, c_1, d_1$ ���߂�΁A
���� $1$ �̈ʂ���� $10$ �̈ʂ͌��肷��B

���� $10^2$ �̈ʂ��߂�B (\ref{eq32}) �Ɠ��l�� 
\begin{equation}
\begin{split}
c_2=\begin{cases}a_2-(b_2+d_1),\\ 10+a_2-(b_2+d_1),\end{cases} d_2=\begin{cases}0 &\text{if } a_2\geq b_2+d_1\\
1 &\text{if }a_2<b_2+d_1\end{cases}
\end{split}
\end{equation}
�ƒ�߂�΁A(\ref{eq33}) ���
$1000d_2+100a_2-100b_2+10a_1-10b_1+a_0-b_0=100(10d_2+a_2-b_2-d_1)+10c_1+c_0=10^3d_2+10^2c_2+10c_1+c_0$ �ł���B�ȉ����l�ɁA
$c_0, c_1, \ldots, c_{k-1}, d_0, d_1, \ldots, d_{k-1}$ �܂ł�
\begin{equation}
10^k d_{k-1}+10^{k-1}(a_{k-1}-b_{k-1})+\cdots +10(a_1-b_1)+(a_0-b_0)=10^{k-1}c_{k-1}+\cdots +10c_1+c_0
\end{equation}
�ƂȂ�悤�ɒ�܂����Ƃ���B���̂Ƃ�
\begin{equation}
\begin{split}
c_k=\begin{cases}a_k-(b_k+d_{k-1}),\\ 10+a_k-(b_k+d_{k-1}),\end{cases} d_k=\begin{cases}0 &\text{if } a_k\geq b_k+d_{k-1}\\
1 &\text{if }a_k<b_k+d_{k-1}\end{cases}
\end{split}
\end{equation}
�ɂ�� $c_k, d_k$ ���߂��
\begin{equation}
10^{k+1} d_k+10^k(a_k-b_k)+\cdots +10(a_1-b_1)+(a_0-b_0)=10^k c_k+\cdots +10c_1+c_0
\end{equation}
�܂�
$\underline{d_ka_k\cdots a_1a_0}-\underline{b_k\cdots b_1b_0}=\underline{c_k\cdots c_1c_0}$
�����藧�B

����čŏI�I��$\underline{a_n\cdots a_1a_0}-\underline{b_n\cdots b_1b_0}=\underline{c_n\cdots c_1c_0}$
�����藧�B

������A���̂悤�Ȑ}���ɂ��A�悭�m���Ă���M�Z�Ƃ��ĕ\�L���邱�Ƃ��ł���B

\begin{tabular}{ c c c c c c}
 & $(d_{n-1})$ & $(d_{n-2})$ & $\cdots$ & $(d_0)$ & \\
 & $a_n$ & $a_{n-1}$ & $\cdots$ & $a_1$ & $a_0$ \\
-) & $b_n$ & $b_{n-1}$ & $\cdots$ & $b_1$ & $b_0$ \\
 \hline
 & $c_n$ & $c_{n-1}$ & $\cdots$ & $c_1$ & $c_0$
\end{tabular}

\begin{example}
$1901-999$ �����߂�B

$1<9$ ��� $d_0=1, c_0=11-9=2$, $0<9+1$ ��� $d_1=1, c_1=10+0-10=0$ �A
$9<9+1$ ��� $d_2=1, c_2=10+9-10=9$ �A $1\geq 0+1$ ��� $d_3=0, c_3=1-(0+1)=0$
�ł��邩�� $1901-999=902$ �ł���B
\end{example}



\subsection{�⑫}

�����ł́A��� $m>n, m=n, m<n$ �̂����ꂩ���傤�ǈ���������邱�Ƃ��ؖ�����B

\paragraph{}

�܂��A$m\geq n$ �̂Ƃ� $m>n$ �܂��� $m=n$ �̂����ꂩ���傤�ǈ�������藧���Ƃ������B
���̂Ƃ� $m=n+l$ �ƂȂ鎩�R�� $l$ �����݂��邪�A$l=0$ �̂Ƃ�
$m=n$ �ł���B����A $l\neq 0$ �̂Ƃ� $m>n$ �ł���B�Ƃ����̂� $m=n$ �̂Ƃ��� $n+0=n+l$ ��� $l=0$ 
�ƂȂ邩��ł���B

\paragraph{}

���ɁA $m\geq n$ �܂��� $m<n$ �̂����ꂩ��������藧���Ƃ� $n$ �Ɋւ��鐔�w�I�A�[�@�ɂ�莦���B

$n=0$ �̂Ƃ���� $m\geq 0=n$ �ł��邩��A�������B

$n=k$ �̏ꍇ�ɐ������Ɖ��肵�A $n=k+1$ �̏ꍇ�ɐ��������Ƃ��ؖ�����B
�A�[�@�̉�����$m<k, m=k, m>k$ �̂����ꂩ���傤�ǈ����������B

$m<k$ �܂��� $m=k$ �̂Ƃ��̂Ƃ��� $m<k+1$ ����������i����A $m\geq k+1$ �����肷��� $m>k$ �ƂȂ��Ă��܂��̂�
$m\geq k+1$ �͐������Ȃ��j�B

������ $m>k$ �����肷��B���̂Ƃ� $m=k+l$ �ƂȂ� $l$ �����݂���B $l=0$ �̂Ƃ� $m=k$ �ƂȂ�̂� $l\neq 0$ �ł���B
����� $l\geq 1$ �ł��邩�� $m\geq k+1$ �ƂȂ邩�� $m=k+1$ �܂��� $m>k+1$ �̂����ꂩ���傤�ǈ�������藧��
�i��� $m<k+1$ �̂Ƃ� $m+1\leq k+1$ ���Ȃ킿 $m\leq k$�ƂȂ邪�A����� $m>k$ ����ыA�[�@�̉���ɔ����邩��
$m<k+1$ �͐������Ȃ��j�B

\paragraph{}

�ȏ���A��� $m>n, m=n, m<n$ �̂����ꂩ���傤�ǈ���������邱�Ƃ�
�ؖ����ꂽ�B

\noindent
\end{document}
