\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[12pt]{jarticle}

\usepackage{amsfonts}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{headings}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{example}[thm]{Example}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{rem}[thm]{Remark}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]

\newcommand{\envert}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\let\abs=\envert
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\fracpart}[1]{\left\{#1\right\}}

\setlength{\hoffset}{-20mm} 
\setlength{\voffset}{0mm}  
\addtolength{\voffset}{-85pt} 
%\setlength{\oddsidemargin}{20mm}
\setlength{\topmargin}{0pt}
\setlength{\headheight}{60pt}
\setlength{\headsep}{25pt}
\addtolength{\headsep}{2mm} 
\setlength{\marginparsep}{0pt}
\setlength{\marginparwidth}{0pt}
\setlength{\textheight}{230mm}
\setlength{\textwidth}{150mm}
\setlength{\columnsep}{8mm}

\newcommand{\Bu}{{\mathbf{u}}}
\newcommand{\Bv}{{\mathbf{v}}}

\newcommand{\BR}{{\mathbf{R}}}
\newcommand{\BQ}{{\mathbf{Q}}}
\newcommand{\BZ}{{\mathbf{Z}}}

\begin{document}

\title{���w�Z���ȓ��e�_�Z���i��3��-��4��j}

\author{�R�c�q�G(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\section{���R���̏�@}

��@�ɂ́u����� $A$ �� $B$ ������Ƃ��A���̑S�̗̂ʂ����߂�v
�u��̗� $A$ �� $B$ �o���ɔ�Ⴕ�A��̗ʂ����� $1$ �ł���Ƃ��� $1$ �ƂȂ�悤�ȗʂ����߂�v
�u��Ƃ���ʂ� $A$ �ŁA������ $B$ �ł���Ƃ��̗ʂ����߂�v
�Ȃǂ̈Ӗ�������B
�����Ă��̗ʂ� $A\times B, A*B, A\cdots B$ ���邢�� $AB$ �Ə����A����� $A$ �� $B$ �̐ςƂ����B
�Ȃ��A���ɂ���Ă͂���� $B\times A, B*A, B\cdot A$ ���邢�� $BA$ �Ə������Ƃ�����B
��ɏq�ׂ�����@���ɂ�肱��2�̋L�@�͓��l�ƂȂ�B

\paragraph{}

$B$ �����R���̂Ƃ��Ɍ����Ă����΁u����� $A$ �� $B$ ������Ƃ��̑S�̗̂ʁv
���邢�́u��Ƃ���ʂ� $A$ �ŁA������ $B$ �ł���Ƃ��̗ʁv�Ƃ��Ă̐� $AB$ ��
\begin{equation*}
\overbrace{A + A + \cdots + A}^{B {\rm\ ��}}
\end{equation*}
�ɂ��\�����B

���������ď�@�͋A�[�I�� $A\times 0=0, A\times B^+=A\times B+A$ �ɂ���`���邱�Ƃ��ł���i���̂悤��
���@���J��Ԃ����Ƃ�݉��Ƃ����j�B

\begin{example}
$4\times 1=4, 4\times 2=4\times 1+4=4+4=8, 4\times 3=4\times 2+4=8+4=12.$
\end{example}

�������A���̒�`���g���ď�@�̏��������ؖ����邱�Ƃ͎኱��Ԃ�������B
�����ŁA���@�ɂ��ďW����p���Ē�`�������Ƃ�����̂ŁA��@�ɂ��Ă��W���_�I�ȈӖ����l�������B

�܂��A�a�̒�`�̂Ƃ���Ő������� $S\amalg T$ ����ʉ����A
$n$ �̏W���̘a $S_1\amalg S_2\amalg \cdots \amalg S_n$ ���`����B
�e $S_i$ �̗v�f $a\in S_i$ �ɑ΂��A���ꂪ $i$ �Ԗڂ̏W���̗v�f�ł��邱�Ƃ��������x�������A
$(a, i)$ �Ƃ��A���̂悤�Ȃ��̑S�̂̏W���� $\coprod_{i=1}^n S_i$
�Ƃ���B
���Ƃ��� $S_1=\{1, 2, 3\}, S_2=\{2, 3, 4\}, S_3=\{3, 4, 5\}$ �̂Ƃ�
$\coprod_{i=1}^3=\{(1, 1), (2, 1), (3, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (3, 3), (4, 3), (5, 3)\}$
�ł���B

$\abs{S_i}=a_i (i=1, 2, \ldots, n)$ �ƂȂ�W�� $S_i$ �ɑ΂��A
�a $a_1+a_2+\cdots+a_n=\abs{\coprod_{i=1}^n S_i}$ �ƂȂ�B

������ $\abs{S}=a$ �ł���Ƃ� $S_i=S (i=1, 2, \ldots, b)$ �Ƃ����
��� $\abs{\coprod_{i=1}^b S_i}=a\times b$ �ƂȂ�B

\paragraph{}

����͂���Ɉ�ʉ��ł���B$(s, t) (s\in S, t\in T)$ �ƂȂ�g $(s, t)$ �S�̂̏W���� $S$ �� $T$ �̒��ςƂ��� 
$S\times T$ �ł���킷�B��������� $\abs{S}=a, \abs{T}=b$ �̂Ƃ���� $\abs{S\times T}=a\times b$
�ƂȂ�B

���̂悤�Ȓ��ςɂ���@�̒�`�́A
�u��̗� $A$ �� $B$ �o���ɔ�Ⴕ�A��̗ʂ����� $1$ �ł���Ƃ��� $1$ �ƂȂ�悤�ȗʂ����߂�v
���Ƃɑ�������B

\begin{example}
������̂����� $3$ �A�c�� $4$ ���ׂ�ƑS�̂̌��� $3\times 4=4\times 3=12$ �ł���B
\end{example}

�݉��ƒ��ς͓��l�ł���B���ہA $\abs{S\times \{1\}}=\abs{S}$ �ł���A�܂� $a\not\in T$ �̂Ƃ�
$S\times(T\cup\{a\})=(S\times T)\cup (S\times\{a\})$ ���
$\abs{S\times(T\cup\{a\})}=\abs{S\times T}+\abs{S}$ �ł���B

\paragraph{}

$A\times B$ �Ƃ����\���ɂ����āA $B$ ���|���鐔���邢�͏搔�A $A$ ���|�����鐔���邢�͔�搔�Ƃ����B

���ςɂ���@�𗝉�����̂͏搔�Ɣ�搔���Ώ̓I�Ȋ֌W�ƂȂ�A���҂���ʂ���K�v���Ȃ�
���Ƃ����ϓI�Ɍ����₷���Ƃ������_������B

\paragraph{}

1�̎��ɏ�@�Ɖ��@�E���@���܂܂�Ă���ꍇ�A��@���Ɍv�Z����B������ $()$ �Ȃǂ�
�͂܂�Ă��镔���͗D�悵�Čv�Z����B ���Ƃ��� $1+2\times 3=1+6=7, (1+2)\times 3=3\times 3=9$ �ł���B

\begin{rem}
��@�ɂ���ē����������镶�͑�ɂ����āA���Ƃ��ĕ\�L����Ƃ��ɏ搔�Ɣ�搔�̏�����
���΂��Ζ�莋�����B

�Ⴆ�΂�����̂� $3$ �l�� $5$ �������Ă���Ƃ��̑����� $5+5+5=15$ �i�j�ł���
$5\times 3=15$ �ɂ�苁�߂���̂����A����� $3\times 5=15$ �ɂ�苁�߂邱�Ƃ�
���񂪖��ƂȂ�B

\paragraph{}

$A\times B$ ���u����� $A$ �� $B$ ������Ƃ��A���̑S�̗̂ʁv���邢��
�u��Ƃ���ʂ� $A$ �ŁA������ $B$ �ł���Ƃ��̗ʁv�Ƒ�����Ȃ��
�e�l�������Ă��� $5$ �� ��P�ʂƑ����A $5+5+5=5\times 3$ �ɂ�苁�߂�̂��������悤�Ɏv����B

�������A $3$ �l�� $1$ ���������Ă���󋵂���Ƃ��āA����� $5$ �{����
���Ƃɂ���Ă����������߂邱�Ƃ͂ł���B�܂����ϓI�Ȓ�`���̗p����Ȃ��
�ǂ�����搔�ɍ̗p���邩�͏d�v�Ȗ��ł͂Ȃ��Ȃ�B

\paragraph{}

�܂��A�P�ʂ𓱓����A
$5$�i�j$\times 3$�i�l�j$=15$�i�j
�Ƃ����v�Z���������A����� $3\times 5=15$ �Ƃ���ƌ��ł͂Ȃ��l���̌v�Z�ɂȂ��
�w�E����邱�Ƃ����邪�A����͌����ɂ� $5$�i��$/$�l�j$\times 3$�i�l�j$=15$�i�j
�������͐l���𖳒P�ʉ��i�P�Ȃ銄���Ƃ��Ĕc���j���A $5$�i�j$\times 3=15$�i�j��
���ׂ��ł���B������
�O�҂ɂ������@�̏��������ւ��� $3$�i�l�j$\times 5$�i��$/$�l�j$=15$�i�j
���Ó��ł���A���w��̎��Ƃ��Ă͒P��
$5\times 3=15, 3\times 5=15$ �ƕ\�L�����B�P�ʎ��̂͐��w�I�ȋc�_��
�O���Ɉʒu����T�O�ɂ����Ȃ��킯�ł���B

\paragraph{}

���Ȃ킿�A $A\times B$ �̈Ӗ����ǂ������邩�A�����Ď��ƕ��͑�ɂ�����
����Ă���󋵂������ɑΉ������邩�͈�ӓI�łȂ��A���Ɏ��Ə󋵂�������
�Ή������邩�Ƃ������Ƃ͐��w�I�ȋc�_�̊O���Ɉʒu����_�_�Ƃ�����B

���������ď�̗�� $3\times 5=15$ �Ƃ��Čv�Z���Ă��悢�Ƃ��ׂ��ł���Ǝv����B
\end{rem}

\subsection{��{�I�ȏ��@��}

��@�ɑ΂��ẮA�悭�m���Ă���ʂ�A���̖@�������藧�B

\begin{itemize}
\item[1.] �i�����@���j $(A\times B)\times C=A\times (B\times C).$
\item[2.] �i�����@���j$A\times B=B\times A.$
\item[3.] �i���z�@���j$A\times (B+C)=A\times B+A\times C, (A+B)\times C=A\times C+B\times C.$
\end{itemize}
\begin{proof}
�ȉ��A $S, T, U$ ��
$\abs{S}=A, \abs{T}=B, \abs{U}=C$ �ƂȂ���̂Ƃ���B
\item[1.]
$(S\times T)\times U$ �̗v�f�� $((s, t), u) (s\in S, t\in T, u\in U)$ �̌`�̂��̂ł���A
$S\times (T\times U)$ �̗v�f�� $(s, (t, u)) (s\in S, t\in T, u\in U)$ �̌`�̂��̂ł���B
����͖��炩�Ɉ�Έ�ɑΉ����邩��
$(A\times B)\times C=\abs{(S\times T)\times U}=\abs{S\times (T\times U)}=A\times (B\times C)$ �ł���B

\item[2.]
$S\times T$ �� $T\times S$ �� $(s, t)\leftrightarrow (t, s)$ �ɂ���Έ�ɑΉ����邩��
$A\times B=\abs{S\times T}=\abs{T\times S}=B\times A$ �ł���B

\item[3.]
�O���̂ݏؖ�����i�㔼�͑O����������ь����@�����疾�炩�j�B$T, U$ �����ʕ����������Ȃ��W���Ƃ���B
$S\times (T\cup U)=\{(s, t)\mid s\in S, t\in T\cup U\}=S\times T\cup S\times U$ ���
$A\times (B+C)=\abs{S\times (T\cup U)}=\abs{S\times T\cup S\times U}=A\times B+A\times C.$
\end{proof}

���̂悤�Ȗ@���𗘗p���邱�ƂŁA����܂łɏq�ׂ�10�i�\�L�Ɋւ��鐫����a�E���̌v�Z�Ɋւ�����@��
�������Ƃ��ł���B

�Ȃ��A�݉����炱���̖@���A�Ƃ�킯�����@���𓱂��̂͂��Ȃ�ʓ|�ł��邱�Ƃɒ��ӂ���K�v������B

\paragraph{}

�݉��ɂ��A1���̐����m�̐ς́u���̕\�v�Ƃ��Ēm���Ă���\ \ref{tbl1} �ŗ^�����邱�Ƃ��킩��B

\begin{table}
\caption{1���̐��̏�@}\label{tbl1}
\begin{small}
\begin{tabular}{ c || c | c | c | c | c | c | c | c | c | c}
 \hline
$a, b$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\
 \hline\hline
$0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\
$1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\
$2$ & $0$ & $2$ & $4$ & $6$ & $8$ & $10$ & $12$ & $14$ & $16$ & $18$ \\
$3$ & $0$ & $3$ & $6$ & $9$ & $12$ & $15$ & $18$ & $21$ & $24$ & $27$ \\
$4$ & $0$ & $4$ & $8$ & $12$ & $16$ & $20$ & $24$ & $28$ & $32$ & $36$ \\
$5$ & $0$ & $5$ & $10$ & $15$ & $20$ & $25$ & $30$ & $35$ & $40$ & $45$ \\
$6$ & $0$ & $6$ & $12$ & $18$ & $24$ & $30$ & $36$ & $42$ & $48$ & $54$ \\
$7$ & $0$ & $7$ & $14$ & $21$ & $28$ & $35$ & $42$ & $49$ & $56$ & $63$ \\
$8$ & $0$ & $8$ & $16$ & $24$ & $32$ & $40$ & $48$ & $56$ & $64$ & $72$ \\
$9$ & $0$ & $9$ & $18$ & $27$ & $36$ & $45$ & $54$ & $63$ & $72$ & $81$ \\
 \hline
\end{tabular}
\end{small}
\end{table}

�����@����� $\overbrace{A \times A \times \cdots \times A}^{n {\rm\ ��}}$ ��
�|���Z�̏����Ɋ֌W�Ȃ����̒l�����B����� $A$ �� $n$ ��Ƃ��� $A^n$ �Ƃ����B

\subsection{���̕\�L}

$N=a_k d^k+a_{k-1} d^{k-1}+ \cdots +a_0, a_i\in\{0, 1, \ldots, d-1\}, a_k\neq 0$
�̌`�Ɏ��R�� $N$ ������킷���@�� $N$ �� $d$ �i�\�L�Ƃ����B

�\�L����ۂ� $0, 1, \ldots, d-1$ �ɑΉ����� $d$ �̋L����p�ӂ��A $a_k$ ���� $a_0$ �܂ł�
�Ή�����L�������̏��ɕ��ׂĕ\�L����B

�����ł� $a_k d^k+a_{k-1} d^{k-1}+ \cdots +a_0$ �� $\underline{a_k a_{k-1} \cdots a_0}$ �Ə������Ƃɂ���
�i������t���邱�Ƃɂ��A�ς̕\�L�Ƌ�ʂ���j�B
$d=10$ �̂Ƃ����ʏ�p���� $10$ �i�\�L�ł���B���̂Ƃ� $d$ ����A�\�L�̕�����Ƃ��Ă̒���
$k+1$ �������Ƃ����B

\paragraph{}

$N=(d-1) d^k+(d-1) d^{k-1}+\cdots +(d-1)$ �̂Ƃ����䐔��̘a�̌������
$N=(d-1)(d^k+\cdots +d+1)=d^{k+1}-1$ ��� $N^+=d^{k+1}$ �ƂȂ�B����
\begin{equation}
(d-1)(d^k+\cdots +d+1)+1=(d-1)(d^k+\cdots +d)+d=d((d-1)(d^{k-1}+\cdots +1)+1)
\end{equation}
�ƂȂ邪�A�E�ӂ̒��� $(d-1)(d^{k-1}+\cdots +1)$ �ɂ��ē��l�̋c�_���J��Ԃ����Ƃ�
\begin{equation}
(d-1)(d^k+\cdots +d+1)+1=d^{k+1}
\end{equation}
�ƂȂ�B

\paragraph{}

��ʂ� $N=\underline{a_k a_{k-1} \cdots a_0}, a_l\neq d-1, a_{l-1}=\cdots =a_0=d-1$
�̂Ƃ�
\begin{equation}
N^+=a_k d^k+a_{k-1} d^{k-1}+ \cdots +a_0+1=a_k d^k+a_{k-1} d^{k-1}+ \cdots +a_l d^l+
(d-1)(d^{l-1}+\cdots +d+1)+1
\end{equation}
�ł��邪�A $(d-1)(d^{l-1}+\cdots +d+1)+1=d^l$ �ł��邩��
\begin{equation}
N^+=a_k d^k+a_{k-1} d^{k-1}+ \cdots +a_{l+1} d^{l+1}+(a_l+1)d^l
\end{equation}
�܂�
\begin{equation}
N^+=\underline{b_k b_{k-1} \cdots b_0}, b_i=a_i (i=k, k-1, \ldots, l+1), b_l=a_l+1, b_{l-1}=\cdots =b_0=0
\end{equation}
�� $d$ �i�\�L�\�ł���B�܂�C�ӂ̎��R���� $d$ �i�\�L�\�ł���B

\paragraph{}

�܂����R���� $d$ �i�\�L�͈�ӓI�ł���B����
$N=\underline{a_k a_{k-1} \cdots a_0}=\underline{b_k b_{k-1} \cdots b_0}$ �Ɠ���
�̕\�L������Ƃ��A $a_i\neq b_i$ �ƂȂ�ő�� $i$ �� $l$ �Ƃ���B $a_l>b_l$ �Ƃ��Ă�
��ʐ�������Ȃ��B���̂Ƃ�
\begin{equation}
\begin{split}
0& =\underline{a_k a_{k-1} \cdots a_0}-\underline{b_k b_{k-1} \cdots b_0}\\
& =(a_l-b_l)d^l+(a_{l-1} d^{l-1}+ \cdots +a_1 d+a_0)-(b_{l-1} d^{l-1}+ \cdots +b_1 d+b_0)\\
& \geq d^l-(d+1)(d^{l-1}+\cdots +d+1)=1
\end{split}
\end{equation}
�ƂȂ� $0\geq 1$ �ƂȂ��Ė������Ă��܂��B

\paragraph{}

�M�Z�̎�@�͈�ʂ� $d$ �i�\�L�ɂ��Ă��K�p�\�ł���B

\begin{example}
$5$ �i�@�ɂ����� $2014$ �� $10$ �i�@�ɂ����Ă� $2\times 5^3+1\times 5+4=250+5+4=259$ �ł���B
�܂� $5$ �i�@�ɂ�����a $1222+242$ �� $2+2=4, 2+4=11, 2+2+1=10, 1+1=2$ ���
$1222+242=2014$ �ƂȂ�B
\end{example}


\subsection{��ʂ̐ς̌v�Z}

���z�@���ƌ����@�����g����

\begin{equation}
\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\times \left(\sum_{j=1}^m b_j\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_ib_j
\end{equation}
�ƂȂ邱�Ƃ��킩��B

\paragraph{}

����� $A=\underline{a_n\cdots a_1 a_0}=\sum_{i=0}^n 10^i a_i$ ��
$B=\underline{b_m\cdots b_1 b_0}=\sum_{j=0}^m 10^j b_j$ �̐� $A\times B$ ��
\begin{equation}
\left(\sum_{i=0}^n 10^i a_i\right)\times \left(\sum_{j=0}^m 10^j b_j\right)
=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m 10^{i+j} a_ib_j
\end{equation}
�ƁA1���̐����m�̐� $a_ib_j$ �ł���킹��B ������1���̐����m�̐ς͕\ \ref{tbl1} ����
���߂���̂ŁA����ɂ��ς��v�Z���邱�Ƃ͂ł���B
���������̕��@�A $A, B$ �̌������������ɂ͔ώG�ł���B������
�܂��e $i$ �ɂ��� $A\times b_i$ �����߁A���ꂩ��� $A\times B$ �����߂����B

$0\leq b\leq 9$ �ɑ΂���
$(10^n a_n+10^{n-1} a_{n-1}+\cdots + 10a_1+a_0)\times b=10^n (a_n b)+10^{n-1} (a_{n-1} b)+\cdots +10a_1 b+a_0 b$
�����߂����B������$10f_i+e_i=a_i b$ �Ƃ����ƁA
$(10^n a_n+10^{n-1} a_{n-1}+\cdots + 10a_1+a_0)\times b=10^{n+1} f_n+10^n(e_n+f_{n-1})+\cdots +10(e_1+f_0)+e_0$
�ƂȂ�B������ $c_i, d_i (i=0, 1, \cdots, n+1)$ �� $c_0=e_0, d_0=0$ �����
\begin{equation}
\begin{split}
c_k=\begin{cases}e_k+f_{k-1}+d_{k-1},\\ e_k+f_{k-1}+d_{k-1}-10,\end{cases} d_k=\begin{cases}0 &\text{if } e_k+f_{k-1}+d_{k-1}=0, 1, \ldots, 9\\
1 &\text{if }e_k+f_{k-1}+d_{k-1}=10, 11, \ldots, 19\end{cases}
\end{split}
\end{equation}
�ɂ���߂�i�������Ō�� $c_{n+1}=f_n+d_n, d_{n+1}=0$ �ɂ���߂�j���Ƃ�
$(10^n a_n+10^{n-1} a_{n-1}+\cdots + 10a_1+a_0)\times b=10^{n+1} c_{n+1} 10^n c_n+\cdots +10c_1+c_0$
�𓾂�B

\begin{tabular}{ c c c c c c c }
 & $a_n$ & $a_{n-1}$ & $\cdots$ & $a_2$ & $a_1$ & $a_0$ \\
$\times$ ) & & & & & & $b$ \\
 \hline
 & & & & & $f_0$ & $e_0$ \\
 & & & & $f_1$ & $e_1$ & \\
\multicolumn{7}{c}{$\cdots$} \\
 & $f_{n-1}$ & $e_{n-1}$ & & & & \\
$f_n$ & $e_n$ & & & & & \\
 \hline
$c_{n+1}$ & $c_n$ & $c_{n-1}$ & $\cdots$ & $c_2$ & $c_1$ & $c_0$ \\
\end{tabular}

�̂悤�Ɍv�Z����̂ł���B


��ʂ̏ꍇ��
$A\times (10^m b_m+10^{m-1} b_{m-1}+\cdots +10b_1+b_0)
=10^m(Ab_m)+10^{m-1}(Ab_{m-1})+\cdots +10Ab_1+Ab_0$
�ƂȂ邱�Ƃ�p���A�E�ӂ̊e�����Ɏ��������@�ŋ��߂邱�ƂŌv�Z�ł���B

�ʏ�s���Ă���

\begin{tabular}{ c c c c c c c c }
 & $a_n$ & $a_{n-1}$ & \multicolumn{2}{c}{$\cdots$} & $a_2$ & $a_1$ & $a_0$ \\
$\times$ ) & & & $b_m$ & $\cdots$ & $b_2$ & $b_1$ & $b_0$ \\
 \hline
\multicolumn{7}{c}{} & $Ab_0$ \\
\multicolumn{6}{c}{} & $Ab_1$ & \\
\multicolumn{5}{c}{} & $Ab_2$ & & \\
\multicolumn{8}{c}{$\cdots$} \\
\multicolumn{2}{c}{} & $Ab_1$ & & & & & \\
 & $Ab_0$ & & & & & & \\
 \hline
\multicolumn{7}{c}{} & $A\times B$ \\
\end{tabular}

�̂悤�Ȍv�Z�ɂ���Đς����߂邱�Ƃ��ł���B

\noindent
\end{document}
