\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[12pt]{jarticle}

\usepackage{amsfonts}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{headings}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{example}[thm]{Example}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{rem}[thm]{Remark}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]

\newcommand{\envert}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\let\abs=\envert
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\fracpart}[1]{\left\{#1\right\}}

\setlength{\hoffset}{-20mm} 
\setlength{\voffset}{0mm}  
\addtolength{\voffset}{-85pt} 
%\setlength{\oddsidemargin}{20mm}
\setlength{\topmargin}{0pt}
\setlength{\headheight}{60pt}
\setlength{\headsep}{25pt}
\addtolength{\headsep}{2mm} 
\setlength{\marginparsep}{0pt}
\setlength{\marginparwidth}{0pt}
\setlength{\textheight}{230mm}
\setlength{\textwidth}{150mm}
\setlength{\columnsep}{8mm}

\newcommand{\Bu}{{\mathbf{u}}}
\newcommand{\Bv}{{\mathbf{v}}}

\newcommand{\BR}{{\mathbf{R}}}
\newcommand{\BQ}{{\mathbf{Q}}}
\newcommand{\BZ}{{\mathbf{Z}}}

\begin{document}

\title{���w�Z���ȓ��e�_�Z���i��5��-��6��j}

\author{�R�c�q�G(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\section{���R���̏��@}

���@�͏�@�̋t���Z�Ƃ��Ē�`�����B���Ȃ킿
$a=b\times q$ �ƂȂ� $q$ �����߂邱�Ƃł���B�����@������A�����
$a=q\times b$ �ƂȂ� $q$ �����߂邱�Ƃł�����B

����ɂ́u�������v�Ɓu��܏��v�̓��ނ̈Ӗ�������B
�������͗^����ꂽ�� $a$ �𓯂������A�^����ꂽ�� $b$ �̏W�܂�ɓ��������Ƃ���
�ЂƂ̏W�܂肪������Ȃ邩�����߂���̂ł���A
��܏��͗^����ꂽ�� $a$ ��^����ꂽ�� $b$ ���A�����̏W�܂�ɕ��������Ƃ���
���̏W�܂肪�ł��邩�����߂���̂ł���B

���������āu����� $a$ �� $b$ ������Ƃ��̑S�̗̂ʁv�� $ab$
�Ƃ���ϓ_����͓������� $a=qb$ �ƂȂ� $q$ �����߂邱�Ƃł���
��܏��� $a=bq$ �ƂȂ� $q$ �����߂邱�Ƃł���Ƃ�����B

���̂Ƃ��A���̂悤�� $q$ �� $a$ �� $b$ �Ŋ��������Ƃ�������ɂ�� $a/b$ ���߂�B

\paragraph{}

���́A$a=bq$ �ƂȂ鐮�� $q$ �����݂���Ƃ͌���Ȃ����Ƃł���B
�������Ȃ���A���̂��Ƃ�������B

\begin{thm}
�C�ӂ̎��R�� $a, b (b\neq 0)$ �ɑ΂��A
$a=bq+r, 0\leq r\leq b-1$ �ƂȂ鐮�� $q, r$ �͈�ʂ�ɒ�܂�B
\end{thm}
\begin{proof}
$0=0b+0$ �ł���B
$n=bq+r$ �̂Ƃ� $n^+(=n+1)$ �� $bq^\prime+r\prime$ �Ƃ���킹�邱�Ƃ������B
$0\leq r\leq b-2$ �̂Ƃ��� $n^+=bq+(r+1)$ �ƂȂ�
$r=b-1$ �̂Ƃ��� $n^+=bq+(b-1)+1=b(q+1)+0$ �ƂȂ�B
����Đ��w�I�A�[�@���A�藝�͎����ꂽ�B
\end{proof}

���̂Ƃ� $q, r$ �����ꂼ�� $a$ �� $b$ �Ŋ��������A�]��Ƃ����A
$a/b=q\cdots r$ �Ƃ����B

\begin{example}
$17=5\times 3+2$ ��� $17/5=3\cdots 2$ �ł���B
\end{example}

�]����܂ޏ��@�̓������Ƃ��Ă̈Ӗ��́A���Ƃ���
$a$ �̂��̂� $b$ �̗e���1������Ă����A
�c�肪 $b$ �����ɂȂ����Ƃ���ŏI���ɂ��铮����l����B���̂Ƃ�
�e��� $q$ �������Ă���A�c�肪 $r$ �����
$a=qb+r$ �ƂȂ�B

�]����܂ޏ��@�̕�܏��Ƃ��Ă̈Ӗ��́A���Ƃ���
$a$ �̂��̂� $b$ �����o���Ă����A
�c�肪 $b$ �����ɂȂ����Ƃ���ŏI���ɂ��铮����l����B
�e��� $q$ �������Ă���A�c�肪 $r$ �����
$a=qb+r$ �ƂȂ�B

$b$ ���� $q$ �̗e��ɓ���Ă�
$b$ �̗e���1������Ă������Ƃ� $q$ ��J��Ԃ��Ă�
$bq=qb$ �̂��̂����o�����Ƃ͓��l�ł��邩��A�]����܂߂Ă��A��͂蓙������
��܏��͖{���I�ɂ͓��`�ƂȂ�B

\paragraph{}

$a=bq$ �ƂȂ� $q$ �����݂���Ƃ� $a$ �� $b$ �̔{���ł���A $b$ �� $a$ �̖񐔂ł���A
$a$ �� $b$ �Ŋ���؂�邠�邢�͐����ł���A $b$ �� $a$ ������؂邠�邢�͐�������
�Ƃ��� $b\mid a$ �ł���킷�B

$0$ �͔C�ӂ̎��R���̔{���ł��� $1$ �͔C�ӂ̎��R���̖񐔂ł���B

$a$ �� $b_1, b_2, \ldots b_n$ ���ׂĂ̔{���ł���Ƃ� $a$ �� $b_1, b_2, \ldots, b_n$
�̌��{���Ƃ��� $a$ �� $b_1, b_2, \ldots b_n$ ���ׂĂ̖񐔂ł���Ƃ�
$a$ �� $b_1, b_2, \ldots, b_n$ �̌��񐔂Ƃ����B

�����̊T�O�ɂ��Ă͌�ɘ_����B

\subsection{��{�I�ȏ��@��}

���@�ƌ��@���t���Z�̊֌W�ɂ���悤�ɁA��@�Ə��@���t���Z�̊֌W�ɂ���B
���������Č��@�̎��Ɠ��l�ɂ��āA���̖@�����m���߂���B

\begin{itemize}
\item[1.] $a/1=a.$
\item[2.] $ab/b=a.$
\item[3.] $b\mid a$ �̂Ƃ� $(a/b)\times b=a.$
\item[4.] $b\mid a$ �̂Ƃ� $a/(a/b)=b.$
\item[5.] $b\mid a$ �̂Ƃ� $(a/b)\times c=ac/b.$
\item[6.] $b\mid c$ �̂Ƃ� $ac/b=a(c/b).$
\item[7.] $c\mid b\mid a$ �̂Ƃ� $a/(b/c)=(a/b)\times c.$
\item[8.] $bc\mid a$ �̂Ƃ� $a/(bc)=a/b/c=a/c/b.$
\item[9.] $c\mid b\mid ac$ �̂Ƃ� $ac/b=a/(b/c).$
\end{itemize}

�܂��A���@�ɂ��Ă͕��z�@�������藧�F $a, b$ ������ $c$ �̔{���ł���Ƃ� $a/c+b/c=(a+b)/c$
�ł���B���� $a=mc, b=nc$ �̂Ƃ� $a/c+b/c=m+n=(m+n)c/c=(a+b)/c$ �ł���B

\begin{example}
$256\times 64/512=256/(512/64)=256/8=32, 64/16+80/16=4+5=9=144/16.$
\end{example}

\subsection{���Ɨ]��̌v�Z}

�M�Z�ɂ�銄��Z�̌v�Z�͉�����Ƃ͂��Ȃ����قɂ���B
���@�A���@�A��@�ł�1�̈ʂ����ւƏ��Ɍv�Z���ʂ����߂Ă������A
���@�ɉ����Ă͍ł���̈ʂ��牺�ւƏ������߁A�ŏI�I�ɗ]�肪�c��`�ƂȂ�B

���Ȃ킿���R�� $A, B (B\neq 0)$ �ɑ΂��A
$A=(10^l c_l+\cdots +10c_1+c_0)B+r (c_l\neq 0)$
�ƂȂ� $10^l c_l+\cdots +10c_1+c_0$ ����� $r<B$ �����߂����킯�����A
$c_l, c_{l-1}, \ldots, c_0, r$ �̏��ɋ��߂邱�ƂɂȂ�B

\paragraph{}

�܂��A���̂Ƃ� $10^l B\leq A\leq (9\times 10^l c_l+\cdots +90+9)B+(B-1)=10^{l+1}B-1$
�ł��邱�Ƃɒ��ӂ���B

������ $10^l B\leq A<10^{l+1}B$ �ƂȂ� $l$ �����߂�B���̂Ƃ�
$10^l c_l B\leq A<10^l(c_l+1)B$ �ƂȂ� $c_l\in \{1, 2, \ldots, 9\}$ ��
���݂���B

�� $A_1=A-10^l c_l B$ �Ƃ����� $A_1<10^k B$ �ł���B�����
$10^{l-1} c_{l-1} A\leq A_1<10^{l-1}(c_{l-1}+1)B$ �ƂȂ� $c_{l-1}\in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ ��
���݂���i���̂Ƃ� $c_{l-1}$ �� $0$ �ł���\��������j�B
����$A_2=A_1-10^{l-1} c_{l-1} B$ �Ƃ����� $a_2<10^{l-1} B$ �ł���B
������J��Ԃ��A�ŏI�I�� $A_{l+1}<B$ �ƂȂ�B
���̂Ƃ� $A_{l+1}=A-(10^l c_l+10^{l-1} c_{l-1}+\cdots +c_0)B$ �ł��邩��
$r=A_{l+1}$ �Ƃ����Ɗm���� $A=(10^l c_l+\cdots +10c_1+c_0)B+r, r<B$ �ƂȂ�B

\paragraph{}

�Ȍ��̂��� $D_l=\underline{a_n\cdots a_l}-c_lB$ �Ƃ�����
$A_1=10^l D_l+\underline{a_{l_1}\cdots a_0}$ �ł���B
���� $D_{l-1}=10D_l+a_{l-1}-c_{l-1}B$ �Ƃ�����
$A_2=10^{l-1}D_{l-1}+\underline{a_{l-2}\cdots a_0}$ �ł���B�����p����

\begin{tabular}{ c c c c c c c c c c }
 & & & & $c_l$ & $c_{l-1}$ & $c_{l-2}$ & $\cdots$ & $c_1$ & $c_0$ \\
$B$ ) &  $a_n$ & $a_{n-1}$ & $\cdots$ & $a_l$ & $a_{l-1}$ & $a_{l-2}$ & $\cdots$ & $a_1$ & $a_0$ \\
\multicolumn{4}{c}{} & $c_lB$ & & & & \\
 \hline
\multicolumn{4}{c}{} & $D_l$ & $a_{l-1}$ & $a_{l-2}$ & $\cdots$ & $a_1$ & $a_0$ \\
\multicolumn{5}{c}{} & $c_{l-1} B$ & & & & \\
 \hline
\multicolumn{5}{c}{} & $D_{l-1}$ & $a_{l-2}$ & $\cdots$ & $a_1$ & $a_0$ \\
\multicolumn{7}{c}{} & $\cdot$ \\
\multicolumn{7}{c}{} & $\cdot$ \\
\multicolumn{7}{c}{} & $\cdot$ \\
 \hline
\multicolumn{9}{c}{} & $A_{l+1}$ \\
\end{tabular}

�̂悤�ɏ��Ɨ]������߂邱�Ƃ��ł���B
\noindent
\end{document}
