\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[12pt]{jarticle}

\usepackage{amsfonts}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{ascmac}
\usepackage[dvips]{graphicx}

\pagestyle{headings}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{example}[thm]{Example}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]

\newcommand{\envert}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\let\abs=\envert
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\fracpart}[1]{\left\{#1\right\}}

\setlength{\hoffset}{-20mm} 
\setlength{\voffset}{0mm}  
\addtolength{\voffset}{-85pt} 
%\setlength{\oddsidemargin}{20mm}
\setlength{\topmargin}{0pt}
\setlength{\headheight}{60pt}
\setlength{\headsep}{25pt}
\addtolength{\headsep}{2mm} 
\setlength{\marginparsep}{0pt}
\setlength{\marginparwidth}{0pt}
\setlength{\textheight}{230mm}
\setlength{\textwidth}{150mm}
\setlength{\columnsep}{8mm}
\newtheorem{rem}[thm]{Remark}

\newcommand{\Bu}{{\mathbf{u}}}
\newcommand{\Bv}{{\mathbf{v}}}

\newcommand{\BR}{{\mathbf{R}}}
\newcommand{\BQ}{{\mathbf{Q}}}
\newcommand{\BZ}{{\mathbf{Z}}}

\begin{document}

\title{���w�Z���ȓ��e�_�Z���i�����ɂ��āj}

\author{�R�c�q�G(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\section{����}

����܂ł����ς玩�R���ɂ��čl���Ă������A��������͂���ʂ̐��ɂ��čl�������B
�N���l�b�J�[�́u���R���݂̂��{���̐��ł���A���̑��̐��͐l�Ԃ�������U��̐��ł���v�ƌ�������A
����͋ɘ_�Ƃ��Ă��A��ʂ̐��ɂ��Ă��A�ʏ�͎��R�����o���_�Ƃ��Ē�`���邱�ƂƂȂ�B

���R���ȊO�ɂ� $0.1, \frac{1}{2}, \sqrt{2}, \pi$ �̂悤�Ȑ������݂���B
���퐶���ɂ����Ă��A�p�ɂɁA�����ł͕\���Ȃ��A���ԓI�ȗʂɑ�������B���Ƃ���
$2$g �� $3$g �̂��傤�ǒ��Ԃ̎��ʁA�͂��܂� $2$g �� $3$g �̊Ԃł��邪�A
 $2$g �� $3$g �̊Ԃ� $3$ ���������Ƃ��� $2$g ���ɋ߂��ق��̒��ԓ_�Ɉʒu����悤�Ȏ��ʂ�
����킵�����ꍇ������B
�܂��A���R���̌v�Z�ɂ��Ę_�����ہA�P���Ȋ���Z���ł��Ȃ��ꍇ�����邱�ƂɐG�ꂽ�B
���Ƃ��� $7/3$ �Ƃ������͎��R���ł͒�`�ł��Ȃ��B�������A���ۏ�A���̂悤�Ȍv�Z��
���Ƃ��Β��� $7$m �̖_�� $3$ ���������Ƃ��̒����̂悤�Ȍ`�Ō���Ă���B

�������������ԓI�ȗʂ��������@�Ƃ��āA�����ƕ���������B�����ł́A�܂������ɂ��čl�������B

�ł́A�����Ƃ͂ǂ̂悤�Ȃ��̂��B���łɎ��R���̌v�Z�ɂ��Ă͘_�����̂ŁA���R�����o���_�Ƃ���
�������\�����A���̌v�Z�ɂ��Ę_���Ă����B

�܂�$1$ �� $d$ �����������́A���Ȃ킿 $xd=1$ �� $\frac{1}{d}$ �Ƃ���B���̂悤�ȕ�����
\textbf{�P�ʕ���}�Ƃ����B


\section{���̒�`}

�������`����̂ɍł��P���Ȃ̂͌����@���A�����@���A���z�@���������ɂ��Ă����藧�悤�Ɋg��������@�ł���B

�����@���ƌ����@���� $\frac{1}{d}$ �̂悤�Ȍ`�̐��ɂ����藧�Ƃ����
\begin{equation}
\left(\frac{1}{d}\times n\right)\times d=\frac{1}{d}\times (n\times d)=\frac{1}{d}\times (d\times n)=\frac{1}{d}\times d\times n=n
\end{equation}
���
$\left(\frac{1}{d}\times n\right)$ �� $n$ �� $d$ �����������̂Ɠ������Ȃ�B�����ł���� $\frac{m}{n}$ �Ə������Ƃɂ���B

��������΁A�����@�����g�����ēK�p���邱�Ƃ�
\begin{equation}
\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=a/b\times c/d=(a\times c)/(b\times d)=\frac{ac}{bd}
\end{equation}
�ƂȂ�B

�܂�
\begin{equation}
\frac{an}{bn}=\frac{a}{b}\times \frac{n}{n}=\frac{a}{b}\times 1=\frac{a}{b}
\end{equation}
���񕪂��\�ł��邱�Ƃ��킩��B�����
\begin{equation}
\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=a/n+b/n=(a+b)/n=\frac{a+b}{n}
\end{equation}
���
\begin{equation}
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}
\end{equation}
���킩��B

���̂悤�Ɍ����@���E�����@���Ȃǂ̎l�����Z�Ɋւ����{�I�Ȗ@�������藧�悤�Ɋg�����邱�Ƃ�
�����̉��Z���`���邱�Ƃ͉\�ł��邪�A�����񂹂�`���I�ł���A����I�ȕ�����ʂ̗��p�Ƃ�
�������Ă���Ƃ��������@�����ꂸ�A�������̂��̂������Ӗ����Ă���̂��𗝉������Ƃ͌�����B

\section{���̒�`}

����ŁA�Z���Ŏg���镪���̈Ӗ��ɉ����ĕ������`�������B�������A���������ƂɎZ���Ŏg���镪����
���̌v�Z���`����ɂ������ē���I���ς��瘨�����邱�Ƃ͖]�܂����Ȃ��̂����A
���̂悤�ɂ���Ɖ��@�E��@�̑Ώ̐��������ɂ����Ȃ��Ă��܂��̂ł���B


�܂��A�ʂɊւ����ʂ̌����Ƃ��Ď��̂悤�Ȃ��̂��߂�B
\begin{itemize}
\item[1.] $a>b, a=b, a<b$ �̂����ꂩ���傤��1�����藧�B
\item[2.] $a>b$ �� $b<a$ �Ɠ��l�B
\item[3.] $a>b, c>d$ �Ȃ� $a+c>b+d$ �����藧�B
\end{itemize}

���̂Ƃ��A���̂悤�Ȓ藝�����藧�B
\begin{thm}
$n$ �����̐����̂Ƃ� $a>b$ �Ȃ� $a\times n>b\times n$ �����藧�� $a<b$ �Ȃ� $a\times n<b\times n$ �����藧�B
\end{thm}
\begin{proof}
$n=1$ �̂Ƃ��� $a\times 1=a>b=b\times 1$ ��薾�炩�ɐ������B
$a>b, a\times n>b\times n$ �Ȃ� $a\times (n+1)=a\times n+a>b\times n+b=b\times (n+1)$ �ł��邩��
���w�I�A�[�@���藝�͐������B
\end{proof} 

���̒藝�͎��̂悤�Ɍ�����������B

\begin{thm}
$a\times n=b\times n$ �̂Ƃ� $a=b$ �����藧�B
\end{thm}

�܂�A�C�ӂ̗� $\alpha$ �ɑ΂��āA $\beta\times n=\alpha$ �ƂȂ� $\beta$ �͂���Ƃ��Ă�1�����Ȃ�
�i$n\neq 0$ �̂Ƃ��A���̂悤�� $\beta$ �����ۂɑ��݂��邱�Ƃ͌�Ɋm���߂�j�B
���������� $d$ �𐳂̐����Ƃ���� 1 �� $d$ �����A���Ȃ킿 $xd=1$ �ƂȂ� $x$ �́i���̑��݂�F�߂�Ȃ�j
��ӓI�ɒ�܂邱�Ƃ��킩��B

�����ŁA���̂悤�ȗʂ� $\frac{1}{d}$ �ƒ�߂�B

���� $\frac{n}{d}$ ���A���� $\frac{1}{d}$ �� $n$ ���̗ʂƒ�߂�B����ɂ�蕪������
$n$ ��\textbf{���q}�A $d$ ��\textbf{����}�Ƃ�ԁB

���̒�`����
\begin{equation}
\frac{d}{d}=\frac{1}{d}\times d=1,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{a}{d}+\frac{b}{d}=\frac{1}{d}\times a+\frac{1}{d}\times b=\frac{1}{d}\times (a+b)=\frac{a+b}{d},
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{a}{d}\times b=\frac{1}{d}\times a\times b=\frac{1}{d}\times (a\times b)=\frac{ab}{d}
\end{equation}
���킩��B

����ŁA���ꂼ��̐��̐��� $d$ �ɑ΂���
\begin{equation}
\frac{1}{d}, \frac{2}{d}, \frac{3}{d}, \ldots
\end{equation}
�Ƃ��������̌n�񂪑��݂���B���Ƃ���
\begin{equation}
\frac{1}{2}, \frac{2}{2}=1, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}=2, \ldots
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}=1, \frac{4}{3}, \ldots
\end{equation}
�Ȃǂł���B

����ł́A�e $d$ �ɑ΂��āA�����̌n��͓Ɨ����đ��݂���̂��Ƃ����ƁA�����ł͂Ȃ��B���Ƃ���
\begin{equation}
\frac{1}{3}\times 3=1=\frac{6}{6}=\frac{2}{6}\times 3
\end{equation}
�ł��邩��A��̒藝����
\begin{equation}
\frac{1}{3}=\frac{2}{6}
\end{equation}
�ł��邱�Ƃ��킩��B

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{kyokyo_f_0001.eps}
\caption{$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ �͋���$3$�{����� $1$ �ɂȂ�B}
\end{center}
\end{figure}

��ʂ� $k$ �𐳂̐����Ƃ����
\begin{equation}\label{eq1}
\frac{1}{d}=\frac{k}{dk}
\end{equation}
�ł���B�Ƃ����̂�
\begin{equation}
\frac{1}{d}\times d=1=\frac{dk}{dk}=\frac{k}{dk}\times d
\end{equation}
�ƂȂ邩��ł���B(\ref{eq1}) �� $n$ �{���邱�Ƃɂ��A����ʓI�Ȏ��̒藝��������F
\begin{thm}
$d, k$ �����̐����̂Ƃ�
\begin{equation}\label{eq2}
\frac{n}{d}=\frac{nk}{dk}
\end{equation}
\end{thm}

���������āA����ƕ��q�����ʂ̖񐔂����Ƃ��A���̋��ʂ̖񐔂ŕ���ƕ��q�����邱�ƂŁA
���������A��菬��������ƕ��q�̕����Ƃ��Ă���킷���Ƃ��ł���B�����\textbf{��}�Ƃ����B

\begin{example}
$\frac{9}{15}$ �� $9=3\times 3, 15=3\times 5$ ��� $\frac{3}{5}$ �Ɩ񕪂ł���B
���ۋ���$5$�{����� $3$ �ƂȂ�B

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{kyokyo_f_0002.eps}
\caption{$\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$ �͋���$5$�{����� $3$ �ɂȂ�B}
\end{center}
\end{figure}
\end{example}

(\ref{eq2}) ��蕪���̘a��
\begin{equation}
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}
\end{equation}
�Ōv�Z�ł���B�܂� $ad\geq bc$ �̂Ƃ������̍���
\begin{equation}
\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{bc}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}
\end{equation}
�Ōv�Z�ł���B
���̂悤��2�̕������A���ʂ̕�������`�ɏ����������Ƃ�\textbf{�ʕ�}�Ƃ����B

\begin{example}
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}.$

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{kyokyo_f_0003.eps}
\caption{$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$}
\end{center}
\end{figure}

$\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{3}{18}+\frac{2}{18}=\frac{5}{18}$ �̂悤��
��̌����ɂ��Ȃ��Œʕ��ł���ꍇ������B
\end{example}

���ɁA�����̏�@�Ə��@�ɂ��čl�������B
�܂� $\frac{a}{b}\times \frac{1}{d}$ �� $\frac{a}{b}$ �� $d$ �����Ƃ���B
\begin{equation}
\frac{a}{bd}\times d=\frac{ad}{bd}=\frac{a}{b}
\end{equation}
���
\begin{equation}
\frac{a}{b}\times \frac{1}{d}=\frac{a}{bd}
\end{equation}
�ł��邱�Ƃ��킩��B

���� $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}$ �� $\frac{a}{b}$ ��P�ʂ�����̗ʂƂ����Ƃ���
$\frac{c}{d}$ �P�ʂ̑��ʂƒ�߂�B����āA��L�̒l�� $c$ �{���邱�Ƃ�
\begin{equation}
\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}
\end{equation}
��������B

�����@��
\begin{equation}
\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\times \frac{e}{f}=\frac{ac}{bd}\times\frac{e}{f}=\frac{ace}{bdf}=\frac{a}{b}\times \frac{cd}{ef}=\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}\times\frac{e}{f}\right)
\end{equation}
����ь����@��
\begin{equation}
\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}=\frac{ca}{db}=\frac{c}{d}\times\frac{a}{b}
\end{equation}
���m���߂���B����ɕ��z�@����
\begin{equation}
\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\times\frac{e}{f}=\frac{ad+bc}{bd}\times\frac{e}{f}=\frac{(ad+bc)e}{bdf},
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{a}{b}\times\frac{e}{f}+\frac{c}{d}\times\frac{e}{f}=\frac{ae}{bf}+\frac{ce}{df}=\frac{adef+bcef}{bdf^2}=\frac{(ad+bc)e}{bdf}
\end{equation}
�ɂ��m���߂���B

\begin{example}
$\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}=\frac{15}{10}\times \frac{7}{5}=\frac{21}{10}.$

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=21.0cm]{kyokyo_f_0004.eps}
\caption{$\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}=\frac{21}{10}$}
\end{center}
\end{figure}

���������āA���x $\frac{3}{2}\mathrm{g}/\mathrm{cm}^3$ �̕��� $\frac{7}{5}\mathrm{cm}^3$ �̎��ʂ�
$\frac{21}{10}\mathrm{g}$ �ƂȂ�B
\end{example}

\begin{rem}
��̗�ł́A���x���u�P�ʂ�����̗ʁv�Ƃ��A���ʂ��u�^����ꂽ�̐ςɑΉ����鑍�ʁv�ƍl��
�u���x$\times$�̐ρ����ʁv�ɂ�莿�ʂ����߂��B�������A���ʂ͖��x�Ƒ̐ς̑o����
��Ⴗ��B���ۖ��x $1\mathrm{g}/\mathrm{cm}^3$ �̕����̏ꍇ $x\mathrm{cm}^3$ �̎��ʂ�
$x\mathrm{g}$ �ł��邩��A�������Ƃ��āA���x���|���邱�Ƃɂ���Ĉ�ʂ̕�����
���ʂ��v�Z���邱�Ƃ��ł���B����āu�̐�$\times$���x�����ʁv�Ƃ��Ă����Ȃ��̂ł���B
��ʂɌ��ۂ𐔎��ɂǂ̂悤�ɑΉ������邩�͌ʉȊw��̖��ł���A�{�����w�̔��e�ɂ͑����Ȃ��B
\end{rem}

$\frac{a}{b}/\frac{1}{d} (b, d\neq 0)$ �� $d$ ��������� $\frac{a}{b}$ �ƂȂ鐔�A
�܂� $\frac{a}{b}$ �� $d$ �{�ł���B�܂�
\begin{equation}
\frac{a}{b}/\frac{1}{d}=\frac{ad}{b}
\end{equation}
�ł��邩�� $\frac{a}{b}/\frac{c}{d} (b, c, d\neq 0)$ �͂���� $c$ �����������̂ƂȂ�B�����
\begin{equation}
\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{ad}{b}/c=\frac{acd}{bc}/c=\frac{ad}{bc}
\end{equation}
�ƂȂ�B

\begin{equation}
\frac{a}{b}/\frac{c}{d}\times\frac{c}{d}=\frac{acd}{bcd}=\frac{a}{b},
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}/\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}/\frac{c}{d}=\frac{acd}{bcd}=\frac{a}{b}
\end{equation}
��菜�@����@�̋t���Z�ł��邱�Ƃ��m���߂���B
�܂�
\begin{equation}
\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
\end{equation}
�ł���B
$xy=1$ �ƂȂ� $y$ �� $x$ �̋t���Ƃ����B $y$ �� $x$ �̋t���Ȃ�Ώ�� $a/x=ay$ �ƂȂ�B

$\frac{c}{d}$ �̋t���� $\frac{d}{c}$ �ł���B


\begin{example}
$\frac{3}{2}/\frac{5}{7}=\frac{3\times 7}{2\times 5}=\frac{21}{10}$ �ł���B

���ہA$\frac{3}{2}/\frac{1}{7}$ �� $7$ ��������� $\frac{3}{2}$ �ƂȂ鐔�A���Ȃ킿
$\frac{3}{2}\times 7=\frac{21}{2}=\frac{105}{10}$ �ł���̂� $\frac{3}{2}/\frac{5}{7}$ 
�͂���� $5$ �����������́A���Ȃ킿 $\frac{105/5}{10}=\frac{21}{10}$ �ł���B
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{kyokyo_f_0005.eps}
\caption{$\frac{3}{2}/\frac{5}{7}=\frac{21}{10}$}
\end{center}
\end{figure}
\end{example}

\noindent
\end{document}
