
\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[10pt]{jarticle}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{headings}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{example}[thm]{Example}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]
\newtheorem{prb}{Problem}[section]

\newcommand{\envert}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\let\abs=\envert
\newcommand{\norm}[1]{\envert{\envert{#1}}}

\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\fracpart}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\vecxy}[2]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \end{pmatrix}}
\newcommand{\vecxyz}[3]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}

\DeclareMathOperator{\rank}{rank}

\setlength{\hoffset}{0mm} 
\setlength{\voffset}{0mm}  
\addtolength{\voffset}{0pt} 
\setlength{\oddsidemargin}{0mm}
\setlength{\topmargin}{0pt}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\headsep}{15pt}
\setlength{\marginparsep}{0pt}
\setlength{\marginparwidth}{0pt}
\setlength{\textheight}{230mm}
\setlength{\textwidth}{150mm}
\setlength{\columnsep}{8mm}

\newcommand{\Ba}{{\mathbf{a}}}
\newcommand{\Bb}{{\mathbf{b}}}
\newcommand{\Bc}{{\mathbf{c}}}
\newcommand{\Bd}{{\mathbf{d}}}
\newcommand{\Be}{{\mathbf{e}}}
\newcommand{\Bn}{{\mathbf{n}}}
\newcommand{\Bu}{{\mathbf{u}}}
\newcommand{\Bv}{{\mathbf{v}}}
\newcommand{\Bw}{{\mathbf{w}}}
\newcommand{\Bx}{{\mathbf{x}}}
\newcommand{\By}{{\mathbf{y}}}
\newcommand{\Bz}{{\mathbf{z}}}

\newcommand{\BR}{{\mathbf{R}}}
\newcommand{\BQ}{{\mathbf{Q}}}
\newcommand{\BZ}{{\mathbf{Z}}}
\newcommand{\Bzr}{{\mathbf{0}}}

\let\bs=\setminus

\begin{document}

\title{�㐔�w���_II�i���ʃx�N�g���Ƌ�ԃx�N�g���j}

\author{�R�c�q�G(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\section{��ԏ�̃x�N�g��}

$n$ ������� $\BR^n$ ��̓_�� $n$ �����s�x�N�g�����邢�� $n$ ������x�N�g���Ɠ��ꎋ�ł���F
\begin{equation}
(x_1, x_2, \ldots, x_n) \leftrightarrow \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \ldots & x_n \end{pmatrix}
\leftrightarrow \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}.
\end{equation}
�����ē��R�Ȃ���A����͌��_���n�_�Ƃ���x�N�g���ƑΉ������邱�Ƃɂ�� $n$ ������ԏ�̃x�N�g���Ɠ��ꎋ�ł���F
\begin{equation}
P=(x_1, x_2, \ldots, x_n) \leftrightarrow \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\  x_n\end{pmatrix}.
\end{equation}
����� $n$ �����s�x�N�g�����邢�͗�x�N�g���S�̂̏W���� $n$ ������� $BR^n$ �����ꎋ�ł���B

�_��\���Ƃ��� $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ �̌`�ł���킵�A�x�N�g����\���Ƃ���
��x�N�g���i�ꍇ�ɂ��s�x�N�g���j�̌`�ŕ\�����Ƃɂ���B


���ʏ�̓_ $(x_1, x_2)$ �̌��_����̋����� $\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ �ł���킳��A
3������ԏ�̓_ $(x_1, x_2, x_3)$ �̌��_����̋����� $\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ �ł���킳���B
�����͂܂��A�Ή�����x�N�g���̒���������킵�Ă���B
��ʂ� $n$ �����x�N�g�� $\Bv=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ �ɑ΂��ăx�N�g���̒�����
 $\norm{\Bv}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$ �ɂ�肠��킳���B���� $1$ �̃x�N�g����
{\bf �P�ʃx�N�g��}�Ƃ����B

$\Be_1=(1, 0, \ldots, 0), \Be_2=(0, 1, \ldots, 0), \ldots, \Be_n=(0, 0, \ldots, 1)$ �Ƃ�����
$\BR^n$ �̃x�N�g����
$(a_1, a_2, \ldots, a_n)=a_1\Be_1+a_2\Be_2+\cdots +a_n\Be_n$ �Ƃ���킹��B
$\Be_1, \Be_2, \ldots, \Be_n$ ����{�x�N�g���Ƃ����B��{�x�N�g���͊e���W���̐��̕�����
�P�ʃx�N�g����\���Ă���B
$xy$���� $\BR^2$ �̏ꍇ $\Bx=\Be_1=\vecxy{1}{0}, \By=\Be_2=\vecxy{0}{1}$ �Ƃ�
$xyz$��� $\BR^3$ �̏ꍇ $\Bx=\Be_1=\vecxyz 100, \By=\Be_2=\vecxyz 010, \Bz=\Be_3=\vecxyz 001$ �Ƃ������Ƃɂ���B


��ʂ�$n$������� $\BR^n$ 2�̃x�N�g����{\bf ����} $(\Bv, \Bw)$ �����̂悤�ɂ��Ē�߂�B
\begin{itemize}
\item[1.] $(\Bv, \Bv)=\norm{\Bv}^2$.\\
\item[2.] $h, k\in\BR$ �ɑ΂� $(h\Bu+k\Bv, \Bw)=h(\Bu, \Bw)+k(\Bv, \Bw)$ ���� $(\Bu, h\Bv+k\Bw)=h(\Bu, \Bv)+k(\Bu, \Bw)$.
\item[3.] $(\Bv, \Bw)=(\Bw, \Bv)$.
\end{itemize}

����2�Ԗڂ̐����̌㔼��2�Ԗڂ̐����̑O����3�Ԗڂ̐�������]���B�Ƃ����̂�3�Ԗڂ̐�������
$(\Bu, h\Bv+k\Bw)=(h\Bv+k\Bw, \Bu)$ �ƂȂ邩��ł���B

���āA���̂悤�ɂ��Ē�߂����ς́A�ǂ̂悤�Ȑ����������Ă��邩�B2�Ԗڂ̐������玟�̎����]���B
\begin{equation}\label{eq1}
(\Ba+\Bb, \Bc+\Bd)=(\Ba, \Bc)+(\Ba, \Bd)+(\Bb, \Bc)+(\Bb, \Bd).
\end{equation}
����
\begin{equation}\label{eq2}
\begin{split}
\norm{\Ba+\Bb}^2=& (\Ba, \Ba)+(\Ba, \Bb)+(\Bb, \Ba)+(\Bb, \Bb)\\
=& \norm{\Ba}^2+\norm{\Bb}^2+2(\Ba, \Bb)
\end{split}
\end{equation}
�����藧�B���Ȃ킿���ςɂ��āA���̌��������藧�B
\begin{equation}\label{eq3}
(\Bv, \Bw)=\frac{1}{2}(\norm{\Bv}^2+\norm{\Bw}^2-\norm{\Bv+\Bw}^2),
\end{equation}


2�̃x�N�g�� $\Bu, \Bv$ �̂Ȃ��p�� $\theta$ �Ƃ���B���̂Ƃ��]���藝���
\begin{equation}
\norm{\Bu-\Bv}^2=\norm{\Bu}^2+\norm{\Bv}^2-2\norm{\Bu}\norm{\Bv}\cos\theta
\end{equation}
�����藧�B����ē��ςɂ��Ă̏�̌����͎��̂悤�ɕό`�����B
\begin{equation}\label{eq4}
(\Bu, \Bv)=\norm{\Bu}\norm{\Bv}\cos\theta
\end{equation}

(\ref{eq3}) ��� $i\neq j$ �̂Ƃ�
\begin{equation}
(\Be_i, \Be_j)=\frac{1}{2}(1+1-2)=0
\end{equation}
�ƂȂ�B�����
\begin{equation}
((a_1, a_2, \ldots, a_n), \Be_i)=(a_1\Be_1+a_2\Be_2+\cdots +a_n\Be_n, \Be_i)
=a_1(\Be_1, \Be_i)+a_2(\Be_2, \Be_i)+\cdots +a_n(\Be_n, \Be_i)
=a_i
\end{equation}
�ƂȂ�B����āA���ς͐�����p���āA���̂悤�ɂ���킳���B
\begin{equation}\label{eq5}
\begin{split}
((a_1, a_2, \ldots, a_n), (b_1, b_2, \ldots, b_n))
=& b_1((a_1, a_2, \ldots, a_n), \Be_1)+b_2((a_1, a_2, \ldots, a_n), \Be_2)\\
& +b_3((a_1, a_2, \ldots, a_n), \Be_3) \cdots \\
& +b_n((a_1, a_2, \ldots, a_n), \Be_n)\\
=& a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n\\
=& \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \ldots & a_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}.
\end{split}
\end{equation}

(\ref{eq4}), (\ref{eq5}) ���玟�̂��Ƃ������ɂ킩��B
\begin{thm}
2��0�łȂ��x�N�g��
$\Bu=(a_1, a_2, \ldots, a_n), \Bv=(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ ����������K�v�\��������
$a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n=0$ �ƂȂ邱�Ƃł���B
\end{thm}

\begin{example}
��ԓ���2�_ $P, Q, R$ �ɑ΂��A $Q$ ���� ���� $RP$ �Ɉ����������̑��� $H$ �Ƃ���B���̂Ƃ�
$H$ �͂ǂ̂悤�ɂ��炳��邩�B

$\Bu=\overrightarrow{RP}, \Bv=\overrightarrow{RQ}, \Bw=\overrightarrow{RH}$ �Ƃ�����
$\Bw$ �� $\Bu$ �ɕ��s�Ȃ̂� $\Bw=s\Bu$ �ł���A����
$\Bu, \Bv-\Bw=\overrightarrow{HQ}$ �͒������Ă���̂����� $(\Bu, \Bv-\Bw)=(\Bu, \Bv-s\Bu)=0$ �ƂȂ�B�����
$(\Bu, \Bv)=s\norm{\Bu}^2$ �ƂȂ�B����������
\begin{equation}
\Bw=\frac{(\Bu, \Bv)}{\norm{\Bu}^2}\Bu
\end{equation}
�Ƃ���킳���B
\end{example}

\paragraph{}

�x�N�g���̒����Ɠ��ςɂ��ẮA���̕s���������藧�B
\begin{itemize}
\item[1.] $\norm{\Bv+\Bw}\leq\norm{\Bv}+\norm{\Bw}$�i�O�p�s�����j�B\\
\item[2.] $\abs{(\Bv, \Bw)}\leq\norm{\Bv}\norm{\Bw}$�iSchwartz�̕s�����j�B
\end{itemize}

�O�p�s������ (\ref{eq3})(\ref{eq4}) ���
\begin{equation}
\begin{split}
\norm{\Bv+\Bw}^2=& \norm{\Bv}^2+\norm{\Bw}^2+2(\Bv,\Bw) \\
=& \norm{\Bv}^2+\norm{\Bw}^2+2\norm{\Bv}\norm{\Bw}\cos\theta \\
\leq & \norm{\Bv}^2+\norm{\Bw}^2+2\norm{\Bv}\norm{\Bw} \\
=& (\norm{\Bv}+\norm{\Bw})^2
\end{split}
\end{equation}
�ɂ��m���߂���BSchwartz�̕s������ (\ref{eq4}) ��肷���ɂ킩��B

Schwartz�̕s�����𐬕��\�����邱�ƂŁA���̕s������������B
\begin{equation}
(a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2).
\end{equation}

\begin{prb}
�C�ӂ� $a, b, c\in\BR$ �ɑ΂��� $(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$ �ƂȂ邱�Ƃ������B
\end{prb}
\begin{prb}
$\Bu=\vecxyz 123, \Bv=\vecxyz{3}{4}{-1}$ �Ƃ����B$\Bw=\Bv-s\Bu, (\Bu, \Bw)=0$ �ƂȂ�
�x�N�g�� $\Bw$ �����߂�B
\end{prb}


\section{�����ƕ���}

�_ $A(u_1, u_2, \ldots, u_n)$ ��ʂ� �x�N�g�� $\Bv=(v_1, v_2, \ldots, v_n)$ �ɕ��s�ȓ_
$P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ ����Ȃ钼�� $\ell$ �� $\Bu=\overrightarrow{OA}, \Bx=\overrightarrow{OP}$ �Ƃ�����
\begin{equation}\label{eq6}
\Bx=\Bu+t\Bv
\end{equation}
�ɂ�肠��킳���B����𒼐� $\ell$ ��{\bf �p�����[�^�\��} ���邢�� {\bf �x�N�g��������} �Ƃ����B

����͐����\���ɂ����
\begin{equation}
(x_1, x_2, \ldots, x_n)=(u_1+tv_1, u_2+tv_2, \ldots, u_n+tv_n)
\end{equation}
�Ƃ���킷���Ƃ��ł���B

�܂� $t=(x_i-u_i)/v_i$ �����ׂĂ� $i$ �ɂ��Đ��藧�̂ŘA��������
\begin{equation}\label{eq7}
\frac{x_1-u_1}{v_1}=\frac{x_2-u_2}{v_2}=\cdots =\frac{x_n-u_n}{v_n}
\end{equation}
�ɂ�肠��킷���Ƃ��ł���B
�����
\begin{equation}
v_i(x_n-u_n)=v_n(x_i-u_i) (i=1, 2, \ldots, n-1)
\end{equation}
���A�s���p����
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
v_n & 0 & 0 & \ldots & 0 & -v_1 \\
0 & v_n & 0 & \ldots & 0 & -v_2 \\
0 & 0 & v_n & \ldots & 0 & -v_3 \\
\hdotsfor[2]{6} \\
0 & 0 & 0 & \ldots & -v_{n-1} & v_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\vdots \\
x_n \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
v_nu_1-v_1u_n \\
v_nu_2-v_2u_n \\
v_nu_3-v_3u_n \\
\vdots \\
v_nu_{n-1}-v_{n-1}u_n
\end{pmatrix}
\end{equation}
�ƕ\���ł���B

����$xy$���ʏ�̒����̏ꍇ�A
\begin{equation}
v_1 y-v_2 x=v_1u_2-v_2u_1
\end{equation}
��1�̕������ɂ���Ă���킹��B���̒����̕������� $\Bn=(-v_2, v_1)$ �ɑ΂���
\begin{equation}
(\Bn, \Bx)=v_1u_2-v_2u_1
\end{equation}
�Ƃ���킷���Ƃ��ł���B

\begin{example}
�_ $\vecxy{0}{1}$ ��ʂ�x�N�g�� $\vecxy{2}{3}$ �ɕ��s�Ȓ�����
$\overrightarrow{OP}=\vecxy{0}{1}+t\vecxy{2}{3}$
�ɂ�肠��킳���B�܂������̕������� $3y-2x=3$ ���Ȃ킿 $y=\frac{3}{2}x+1$ �ł���B
\end{example}


���ɁA���ʂ̓x�N�g���ɂ���Ăǂ̂悤�ɂ���킳��邩�B��ʂ�
�_ $A(u_1, u_2, \ldots, u_n)$ ��ʂ� �x�N�g�� $\Bv=(v_1, v_2, \ldots, v_n), \Bw=(w_1, w_2, \ldots, w_n)$ �ɕ��s�ȕ��� $H$ ��
$\Bu=\overrightarrow{OA}, \Bx=\overrightarrow{OP}$ �Ƃ�����
\begin{equation}\label{eq8}
\Bx=\Bu+s\Bv+t\Bw
\end{equation}
�ɂ�肠��킳���B����𕽖� $H$ ��{\bf �p�����[�^�\��} ���邢�� {\bf �x�N�g��������} �Ƃ����B

$xyz$ ��Ԃ̏ꍇ�A���̂悤�ɂ��ċ�ԓ��̕��� $H$ �̕������𓾂邱�Ƃ��ł���B
$\Bn$ �𕽖� $H$ �ɐ����ȃx�N�g���Ƃ���� $xyz$ ��Ԃɂ����镽�ʂ̕�������
\begin{equation}
(\Bn, \overrightarrow{AP})=(\Bn, \overrightarrow{OP})-(\Bn, \overrightarrow{OA})=0
\end{equation}
���邢��
\begin{equation}\label{eq9}
(\Bn, \overrightarrow{OP})=(\Bn, \Bu)
\end{equation}
�ɂ�肠��킳���B
$\Bn$ �����̕��ʂ�{\bf �@���x�N�g��}�Ƃ����B
������ $\Bn=(a, b, c), d=-(\Bn, \Bu)$ �Ƃ����ƁA(\ref{eq9})��
\begin{equation}\label{eq10}
ax+by+cz+d=0
\end{equation}
�ƂȂ�A���ʂ̕�������������B


�p�����[�^�\���ƁA�@���x�N�g���̊֌W�͂ǂ����B
���� $H$ �̃p�����[�^�\���� $\Bu+s\Bv+t\Bw$ �ł�������ꂽ�Ƃ�
$(\Bn, \Bv)=(\Bn, \Bw)=0$ �ƂȂ�x�N�g�� $\Bn$ ��������΁A���ꂪ $H$ �̖@���x�N�g���ƂȂ�B���ۂ��̂Ƃ�
�C�ӂ� $s, t$ �ɑ΂��� $(\Bn, s\Bv+t\Bw)=s(\Bn, \Bv)+t(\Bn, \Bw)=0$ �ƂȂ�B

�@���x�N�g���͎��̂悤�ɂ��Č����邱�Ƃ��ł���: $\Bv=(v_1, v_2, v_3), \Bw=(w_1, w_2, w_3)$ �ɑ΂�
\begin{equation}
\Bv\times\Bw=(v_2w_3-v_3w_2, v_3w_1-v_1w_3, v_1w_2-v_2w_1)
\end{equation}
�ɂ��{\bf �O��}$\Bv\times\Bw$ ���`����B
���̂Ƃ� $(\Bu, \Bv\times \Bw)=(\Bw, \Bv\times\Bw)=0$ �����藧�B���Ȃ킿
$\Bn=\Bv\times\Bw$ �� $H$ �̖@���x�N�g���ƂȂ�B
����ŁA���� $H$ �̕�������
\begin{equation}
(\Bn, \overrightarrow{OP})=(\Bn, \Bu+s\Bv+t\Bw)=(\Bn, \Bu)=(\Bn, \overrightarrow{AP})
\end{equation}
�ƂȂ�B

�Ȃ��A��ʂ� $(\Bu, \Bv\times\Bw)=\begin{vmatrix}\Bu & \Bv & \Bw\end{vmatrix}$ �����藧���Ƃ��m���߂���B

\begin{example}
$\Bu=\vecxyz{0}{1}{2}, \Bv=\vecxyz{2}{3}{1}, \Bw=\vecxyz{1}{1}{2}$ �Ƃ���B�p�����[�^�\����
$\Bu+s\Bv+t\Bw$ �ɂ���ė^�����镽�ʂ̕�������
$\Bv\times\Bw=\vecxyz{5}{-3}{-1}$ �ł��邱�Ƃ���
\begin{equation}
5x-3y-z+5=0
\end{equation}
�ɂ�肠��킳���B
\end{example}

\paragraph{}

�Ăђ����ɘb��߂��B $xyz$ ��Ԃɂ����� $\ell$ �� (\ref{eq6}) �ɂ�肠��킳��Ă��钼���Ƃ��A
$\Bu=\vecxyz{u_1}{u_2}{u_3}, \Bv=\vecxyz{v_1}{v_2}{v_3}$ �Ƃ���B

��ɏq�ׂ����Ƃ���A���� $\ell$ ��
\begin{equation}
\begin{pmatrix}v_2 & -v_1 & 0 \\ v_3 & 0 & -v_1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}v_2  u_1- v_1 u_2 \\ v_3 u_1-v_1 u_3 \end{pmatrix}
\end{equation}
�ƘA���������ɂ�肠��킳���B

��ʂɁA$(\Ba, \Bv)=(\Bb, \Bv)=0$ �ƂȂ� $\Ba, \Bb$ �Ō݂��ɕ��s�łȂ����̂��Ƃ�
$\Ba=\vecxyz{a_1}{a_2}{a_3}, \Bb=\vecxyz{b_1}{b_2}{b_3}$ �Ƃ���B���̂Ƃ�
$(\Ba, \overrightarrow{OP})=(\Ba, \Bu+t\Bv)=(\Ba, \Bu)=a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3$ �ł��邩��
�����̕�������
\begin{equation}
a_1(x_1-u_1)+a_2(x_2-u_2)+a_3(x_3-u_3)=b_1(x_1-u_1)+b_2(x_2-u_2)+b_3(x_3-u_3)=0,
\end{equation}
\begin{equation}
(\Ba, \overrightarrow{OP})=(\Ba, \Bu), (\Bb, \overrightarrow{OP})=(\Bb, \Bu),
\end{equation}
���邢��
\begin{equation}\label{eq11}
\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a_1 u_1+a_2 u_2+a_3 u_3 \\ b_1 u_1+b_2 u_2+b_3 u_3\end{pmatrix}
\end{equation}
�Ƃ������A���������ɂ���Ă���킳���B

�t��(\ref{eq11})�ɂ���Ă���킳��钼���̕�������(\ref{eq6})�̌`�ɒ����ɂ́A
$(\Ba, \Bv)=(\Bb, \Bv)=0$ ��������΂悢���A��������悤�� $\Bv=\Ba\times\Bb$ ��
���̐����𖞑����Ă���̂ł���B�����āA������̈�_ $\Bu$ ��K���Ɏ��΁A
(\ref{eq6})�̌`�̕\����������B

\begin{example}
�A��������
\begin{equation}
\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix}
\end{equation}
�ɂ���Ă���킳��钼����
$\vecxyz 123\times \vecxyz 212=\vecxyz{1}{4}{-3}$ ����
$\vecxyz 111$ �͂��̒�����̈�_�ł��邩��
$\vecxyz xyz=\vecxyz 111+t\vecxyz{1}{4}{-3}$ �ƃp�����[�^�\���ł���B
\end{example}


\begin{prb}
$\vecxy 12+s\vecxy{5}{-3}$ �ƃp�����[�^�\������钼���̕������� $y=ax+b$ �̌`�ł���킹�B
\end{prb}

\begin{prb}
$\Bx=\vecxyz 111+t\vecxyz{2}{3}{4}$ �ƃp�����[�^�\������钼����
$3\times 2$ �s�� $A$ �� 2�����x�N�g�� $\Bv$ ��p����
$A\Bx=\Bv$ �̌`�ł���킹�B
\end{prb}

\begin{prb}
2�̃x�N�g�� $\Ba=\vecxyz 340, \Bb=\vecxyz{-2}{4}{3}$
 �ɑ΂��āA���̏����𖞂����x�N�g�� $\Bu, \Bv, \Bw$ �����߂�B

\begin{itemize}
\item[1.] $\abs{\Bu}=\abs{\Bv}=\abs{\Bw}=1.$
\item[2.] $\Bu\cdot\Bv=\Bv\cdot\Bw=\Bw\cdot\Bu=0.$
\item[3.] $\Ba=r\Bu, \Bb=s\Bu+t\Bv$ �𖞂������� $r, s, t$ �����݂���B
\end{itemize}
\end{prb}

\begin{prb}
$\Bu=\vecxyz 012, \Bv=\vecxyz 123, \Bw=\vecxyz 231$ �Ƃ����B
$\Bu+s\Bv+t\Bw$ �ƃp�����[�^�\������镽�ʂ̕������� $ax+by+cz+d=0$ �̌`�ł���킹�B
�܂��A���̃x�N�g���͂��̕��ʂɊ܂܂�邩�B
\begin{itemize}
\item[1.] $\Ba=\vecxyz 147.$
\item[2.] $\Bb=\vecxyz{4}{6}{-1}.$
\end{itemize}
\end{prb}

\noindent
\end{document}
