
\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[10pt,twocolumn]{jarticle}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{headings}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{example}[thm]{Example}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]

\newcommand{\envert}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\let\abs=\envert
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\fracpart}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\vecxy}[2]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \end{pmatrix}}
\newcommand{\vecxyz}[3]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}

\DeclareMathOperator{\rank}{rank}

\setlength{\hoffset}{0mm} 
\setlength{\voffset}{0mm}  
\addtolength{\voffset}{0pt} 
%\setlength{\oddsidemargin}{20mm}
\setlength{\topmargin}{0pt}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\headsep}{15pt}
\addtolength{\headsep}{2mm} 
\setlength{\marginparsep}{0pt}
\setlength{\marginparwidth}{0pt}
\setlength{\textheight}{230mm}
\setlength{\textwidth}{150mm}
\setlength{\columnsep}{8mm}

\newcommand{\Ba}{{\mathbf{a}}}
\newcommand{\Bb}{{\mathbf{b}}}
\newcommand{\Be}{{\mathbf{e}}}
\newcommand{\Bp}{{\mathbf{p}}}
\newcommand{\Bq}{{\mathbf{q}}}
\newcommand{\Bu}{{\mathbf{u}}}
\newcommand{\Bv}{{\mathbf{v}}}
\newcommand{\Bw}{{\mathbf{w}}}
\newcommand{\Bx}{{\mathbf{x}}}
\newcommand{\By}{{\mathbf{y}}}
\newcommand{\Bz}{{\mathbf{z}}}

\newcommand{\BC}{{\mathbf{C}}}
\newcommand{\BK}{{\mathbf{K}}}
\newcommand{\BR}{{\mathbf{R}}}
\newcommand{\BQ}{{\mathbf{Q}}}
\newcommand{\BZ}{{\mathbf{Z}}}
\newcommand{\Bzr}{{\mathbf{0}}}

\let\bs=\setminus

\begin{document}

\title{�㐔�w���_II�i�x�N�g����ԁj}

\author{�R�c�q�G(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\section{�x�N�g�����}

�����܂ōs�x�N�g�����x�N�g���ɂ��x�N�g����Ԃɂ��āA���邢�� $xy$ ���ʂ� $xyz$ ��ԂƂ�����
�x�N�g����Ԃɂ��ċc�_���Ă������A�x�N�g����Ԃ̊T�O������ʉ��������B

�Ƃ����Ă��s�x�N�g�����x�N�g���Ȃǂ������ɂ��Ă��A������̃x�N�g��������A�܂����f����̃x�N�g�����������B
���Ȃ킿�l�@�̊�b�ƂȂ鐔�̏W���Ƃ��� $\BR$ ���Ƃ邱�Ƃ� $\BC$ ���Ƃ邱�Ƃ��ł����B

��ʂɁA�l�@�̊�b�ƂȂ�ׂ����̏W���ɂ����Ă͎l�����Z���������Ă��邱�Ƃ��]�܂��B
�W�� $\BK$ �ɂ����ĉ��@�A��@�������@���ƌ����@���𖞑�����悤��`����A
����@�Ɋւ��镪�z�@�������藧���A�����
\begin{itemize}
\item[1.] $0, 1\in\BK.$
\item[2.] $a, b\in\BK$ �̂Ƃ� $a+b, ab\in\BK.$
\item[3.] $a\in\BK$ �̂Ƃ� $a+b=0$ �ƂȂ� $b\in\BK$ �����傤�ǈ���݂���
�i���� $b$ �� $-a$ �Ƃ����B�܂� $a-b$ ��$a+(-b)$ �ƒ�߂�j�B
\item[4.] $a\in\BK, a\neq 0$ �̂Ƃ� $ab=1$ �ƂȂ� $b\in\BK$ �����傤�ǈ���݂���
�i���� $b$ �� $a^{-1}$ ���邢�� $1/a$ �Ƃ����B�܂� $a/b$ �� $ab^{-1}$ �ƒ�߂�j�B
\end{itemize}
�Ƃ������������藧�Ƃ� $\BK$ ��{\bf ��}�Ƃ����B���Ȃ킿�̂Ƃ� $0$ �ɂ�銄��Z������
�l�����Z���\�Ȑ��̏W���ł���B�Ⴆ�� $\BR$ �� $\BC$ �͂������̂��ƁA
�L�����S�̂̏W�� $\BQ$ ���̂ł��邪�����S�̂̏W�� $\BZ$ �͑̂ł͂Ȃ��B

\paragraph{}

���� $\BK$ ��̂Ƃ���B�W�� $V$ �ɂ����ĉ��@�������@���ƌ����@���𖞑�����悤��`����A
���@�Ɋւ���댳 $\Bzr$ �����݂��A����� $k\in\BK, \Bv\in V$ �ɑ΂���{\bf �X�J���[��} $k\Bv\in V$
��
\begin{itemize}
\item[1.] $1\Bv=\Bv,$
\item[2.] $(ab)\Bv=a(b\Bv),$
\item[3.] $(a+b)\Bv=a\Bv+b\Bv$
\item[4.] $a(\Bu+\Bv)=a\Bu+a\Bv$
\end{itemize}
�����藧�悤��`����Ă���Ƃ� $V$ �� $\BK$ ���{\bf ���`���}���邢��{\bf �x�N�g�����}�Ƃ����B
��̏������炷���� $0\Bv=\Bzr, (-1)\Bv=-\Bv$ �ƂȂ邱�Ƃ��킩��B

\begin{example}
$\BK$ ��� $n$ �������x�N�g����� $\BK^n=\{(a_1, a_2, \ldots, a_n)\mid a_1, a_2, \ldots, a_n\in \BK\}$ �͏�L�̈Ӗ��Ńx�N�g����ԂƂȂ�B
\end{example}

\begin{example}
$n$������ԓ��̕��ʂŌ��_��ʂ���̂�2�̃x�N�g�� $\Bu, \Bv\in\BK^n$ ��p���� $\Bx=s\Bu+t\Bv$ �Ƃ���킹���B
���������Ă�����܂��x�N�g����ԂƂȂ�B
���� $(a\Bu+b\Bv)+(c\Bu+d\Bv)=(a+c)\Bu+(b+d)\Bv, k(a\Bu+b\Bv)=ka\Bu+kb\Bv$ �͂�͂肱�̕��ʂɑ�����B
\end{example}

\begin{example}\label{ex3}
$x$ ��ϐ��Ƃ��A $\BK$ �̗v�f���W���Ƃ��鑽�����S�̂̏W�� $\BK[x]$ �́A�������̉��@�ƃX�J���[�{��
�ւ��ăx�N�g����ԂƂȂ�B�܂� $x$ ��ϐ��Ƃ��A $\BK$ �̗v�f���W���Ƃ��� $n$ ���ȉ��̑������S�̂̏W����
$P_n(\BK)$ �Ƃ����ƁA������܂��������̉��@�ƃX�J���[�{�Ɋւ��ăx�N�g����ԂƂȂ�B
\end{example}

$W$ �� $\BK$ ��̃x�N�g����� $V$ �̋�łȂ������W���ŉ��@�ƃX�J���[�{�Ɋւ��ĕ��Ă���A
���Ȃ킿�u $\Bu, \Bv\in W, k\in\BK$ �Ȃ�΁A��� $\Bu+\Bv, k\Bu\in W$ �v�ƂȂ�Ƃ�
$W$ ���܂� $\BK$ ��̃x�N�g����ԂƂȂ�B���� $W$ �� $V$ ��{\bf �������}�܂���{\bf �����x�N�g�����}
�Ƃ����B

\begin{example}
�� \ref{ex3} �ɂ������x�N�g����� $P_n(\BK)$ �� $\BK[x]$ �̕�����Ԃł���B�܂� $m\leq n$ �Ȃ��
$P_m(\BK)$ �� $P_n(\BK)$ �̕�����Ԃł���B
\end{example}

\begin{example}
$n$ ��̍s�� $A$ �ɑ΂��A�A��1�������� $A\Bx=\Bzr$ �̉��ƂȂ� $n$ �������x�N�g�� $\Bx$ �S�̂̏W����
$\BK^n$ �̕�����ԂƂȂ�B
\end{example}

\begin{example}\label{ex6}
$\BK$ ��̐��� $(u_n) (n=0, 1, 2, \ldots)$ �S�̂̏W�� $U$ �ɁA�v�f���̉��Z�ɂ��
�a�ƃX�J���[�{���߂�B
���Ȃ킿 $(w_n)=k(u_n)$ �� $w_i=ku_i (i=0, 1, 2, \ldots)$ �ɂ���� $(w_n)=(u_n)+(v_n)$ ��
$w_i=u_i+v_i (i=0, 1, 2, \ldots)$ �ɂ���߂�B
���̂Ƃ� $U$ �̓x�N�g����ԂƂȂ�B
�܂��^����ꂽ�� $\alpha\in\BK$ �ɑ΂��A���� $\alpha$ �̓��䐔��S�̂̏W����
$U$ �̕�����ԂƂȂ�B
\end{example}


\section{���`�Ɨ��Ƌ�Ԃ̎���}

��̗�ɂ��������ʊT�O�̈�ʉ��Ƃ��� $n$ �̃x�N�g�� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �ɑ΂��A
$k_1\Bv_1+k_2\Bv_2+\cdots +k_n\Bv_n (k_1, k_2, \ldots, k_n\in \BK$ �̌`�̃x�N�g����
$\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �̈ꎟ�������邢�͐��`�����Ƃ����B

$\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �̈ꎟ�����S�̂̏W���� $\BK$ ��̃x�N�g����ԂƂȂ�B
����� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �Ő��������x�N�g����ԂƂ��� $\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ �Ƃ����B

$n$ �������x�N�g����� $\BK^n$ ���� $\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ �ɂ�
���R�Ȏʑ��� $f(k_1, k_2, \ldots, k_n)=k_1\Bv_1+k_2\Bv_2+\cdots +k_n\Bv_n$ �ɂ��
��`�����B���� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �� $\BK$ ��̗�x�N�g���Ȃ�΁A
$\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �̈ꎟ�����͍s���p����
\begin{equation}
\begin{split}
& k_1\Bv_1+k_2\Bv_2+\cdots +k_n\Bv_n\\
&\qquad =\begin{pmatrix}\Bv_1 \Bv_2 \ldots \Bv_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n\end{pmatrix}
\end{split}
\end{equation}
�Ƃ���킹��B

�������A��ʂɂ��̎ʑ���1��1�̑Ή��Ƃ͌���Ȃ��B���Ƃ���
$\Bv_1=\vecxyz 010, \Bv_2=\vecxyz 101, \Bv_3=\vecxyz 121$ �̂Ƃ�
$\Bv_1+\Bv_2+\Bv_3=3\Bv_1+2\Bv_2+0\Bv_3$ �ƂȂ��Ă��܂��B
���̂Ƃ� $\BR\langle\Bv_1, \Bv_2, \Bv_3\rangle$ �͕��� $x=z$ ������킵�Ă���B
���̂悤�Ȃ��Ƃ��N�����̂� $2\Bv_1+\Bv_2-\Bv_3=\Bzr$ �ƂȂ邽�߂ł���B

\paragraph{}

$k_1\Bv_1+k_2\Bv_2+\cdots +k_n\Bv_n=\Bzr$ �� $k_1=k_2=\cdots =k_n=0$ �ł͂Ȃ���
$(k_1, k_2, \ldots, k_n)$ �����Ƃ�
$n$ �̃x�N�g�� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �͈ꎟ�]�����邢�͐��`�]���ł���Ƃ���
���̂悤�ȉ��������Ȃ��Ƃ��ꎟ�Ɨ����邢�͐��`�Ɨ��ł���Ƃ����B

���������� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �����`�Ɨ��ł���� $\BK^n$ ��
$\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ �͏�L�̎ʑ��ɂ�莩�R�Ɉ�Έ�ɑΉ�����B���Ȃ킿
$\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ �� $n$ ������Ԃ̍\���������Ă���ƌ�����B

\paragraph{}

��� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �����`�]���ł���Ƃ� $\BK^n$ ��
$\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ �͏�L�̎ʑ��ł͈�Έ�Ή����Ȃ��B
�܂����̂Ƃ��A $k_1\Bv_1+k_2\Bv_2+\cdots +k_n\Bv_n=0$ �ŁA���Ȃ��Ƃ��ЂƂ� $k_j$ ��
$0$ �ł͂Ȃ����̂����݂���B���̂Ƃ�
$k_j\Bv_j$ �͑��� $\Bv_i$ �̈ꎟ�����ł���킹�A $k_j\neq 0$ �ł��邱�Ƃ���
$\Bv_j$ ������ $\Bv_i$ �̈ꎟ�����ł���킹��B
���������� $\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ ���� $\Bv_j$ ����菜���Ă�
�ł���x�N�g����Ԃ͕ω����Ȃ��B���Ȃ킿 $\Bv_j$ �͂��̃x�N�g����Ԃ��\��������
���ʂȃx�N�g���ł���Ƃ�����B
���̂悤�ɂ��Ė��ʂȃx�N�g������菜���Ă����΁A�Ō�ɐ��`�Ɨ��� $m$ �̃x�N�g�����c��B
���̂Ƃ��A���̃x�N�g����Ԃ� $m$ ������Ԃ̍\���������Ă���ƌ�����B


\begin{example}
$\Bu=\vecxyz 131, \Bv=\vecxyz 375, \Bw=\vecxyz 235$ �Ƃ����B���̂Ƃ�
\begin{equation}
\begin{split}
& \left(\begin{array}{ccc|ccc}
  1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
  3 & 7 & 5 & 0 & 1 & 0 \\
  2 & 3 & 5 & 0 & 0 & 1 
\end{array}\right)\\
\rightarrow & 
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
  1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & -2 & 2 & -3 & 1 & 0 \\
  0 & -3 & 3 & -1 & 0 & 1 
\end{array}\right)\\
\rightarrow & 
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
  1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & -2 & 2 & -3 & 1 & 0 \\
  0 & -6 & 6 & -2 & 0 & 2 
\end{array}\right)\\
\rightarrow & 
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
  1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & -2 & 2 & -3 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & -5 & 3 & 2 
\end{array}\right)
\end{split}
\end{equation}
��� $5\Bu-3\Bv+2\Bw=0$ �ł��邱�Ƃ��킩��B���Ȃ킿 $\Bu, \Bv, \Bw$ �͐��`�]���ł���B
���� $\Bu\times\Bv=\vecxyz{8}{-2}{-2}, \Bu\times \Bw=\vecxyz{12}{-3}{-3}$ �ł��邩��
$\BR\langle\Bu, \Bv, \Bw\rangle$ �� $\vecxyz{4}{-1}{-1}$ ��@���x�N�g���Ƃ��镽��
���Ȃ킿 $4x-y-z=0$ �Ɉ�v����B
�Ȃ� $\Bu, \Bv, \Bw$ ������ $4x-y-z=0$ �ɑ����邱�Ƃ�
\begin{equation}
\begin{split}
& \left(\begin{array}{ccc|ccc}
  1 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
  3 & 7 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
  1 & 5 & 5 & 0 & 0 & 1 
\end{array}\right)\\
\rightarrow & 
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
  1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & -2 & -3 & -3 & 1 & 0 \\
  0 & 2 & 3 & -1 & 0 & 1 
\end{array}\right)\\
\rightarrow & 
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
  1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & -2 & -3 & 0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & -4 & 1 & 1 
\end{array}\right)
\end{split}
\end{equation}
�̂悤�ɂ��Ċm���߂邱�Ƃ��ł���B
\end{example}

\paragraph{}


�����ŁA�x�N�g����� $V$ �� $V=\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ ��
����킳��A���� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �����`�Ɨ��ł���Ƃ�
$\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �� $V$ ��{\bf ���} �ł���Ƃ����B

\begin{example}
$\Be_1, \Be_2, \ldots, \Be_n$ �� $\BK^n$ �̊��ł���B�����{\bf �W�����}�Ƃ����B
\end{example}
\begin{example}
$\vecxy 11, \vecxy 10$ �� $\BK^2$ �̊��ł���B$\vecxy 12, \vecxy 22$ �� $\BK^2$ �̊��ł���B
������ $\vecxy 11, \vecxy 22$ �� $\BK^2$ �̊��ł͂Ȃ��B
\end{example}
\begin{example}
$\Bu=\vecxyz 123, \Bv=\vecxyz 234$ �͕��� $\Bx=s\Bu+t\Bv$ �̊��ł���B
$\Bp=\vecxyz 357, \Bq=\vecxyz 111$ �����̕��ʂ̊��ł���B
\end{example}
\begin{example}
$1, x, x^2, \ldots, x^n$ �� �� \ref{ex3} �ɂ������x�N�g����� $P_n(\BK)$ �̊��ł���B
\end{example}


����ŁA��ꂪ $n$ �̃x�N�g�������x�N�g����Ԃ� $n$ ������Ԃ̍\���������Ă���Ƃ�����B

�����A�����ň��肪������B $n$ ������Ԃ̍\���������Ă���ƌ��������A���̎�����
����������܂��Ă���̂��B��̗�ł��킩��悤�Ɋ��̎����͈�ʂ�ł͂Ȃ��B������
���̎����ɂ���Ă��̌����ς���Ă��܂����Ƃ͂Ȃ����낤���B���Ȃ킿
$\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle=\BK\langle\Bw_1, \Bw_2, \ldots, \Bw_m\rangle$
�ŁA $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �����`�Ɨ��� $\Bw_1, \Bw_2, \ldots, \Bw_m$ �����`�Ɨ�����
$n\neq m$ �ƂȂ邱�Ƃ͋N���Ȃ����낤���B���͂���͂��肦�Ȃ��̂ł���B����͎��̒藝����킩��B

\begin{thm}\label{th1}
$m>n$ �̂Ƃ��x�N�g����� $\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ ����
$m$ �̃x�N�g�� $\Bw_1, \Bw_2, \ldots, \Bw_m$
�͏�ɐ��`�]���ł���B
\end{thm}

\begin{proof}
�e $\Bw_j$ �� $\Bw_j=a_{1j}\Bv_1+a_{2j}\Bv_2+\cdots +a_{nj}\Bv_n$ �ƈꎟ�����ł���킵
$A=(a_{ij}) (1\leq i\leq n, 1\leq j\leq m$ �Ƃ����B
$b_1\Bw_1+b_2\Bw_2+\cdots +b_{n+1}\Bw_m=
k_1\Bv_1+k_2\Bv_2+\cdots k_n\Bv_n$ �Ƃ�����
$k_i=b_1a_{i1}+b_2a_{i2}+\cdots +b_ma_{im}$ �Ȃ̂�
\begin{equation}
A\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n\end{pmatrix}
\end{equation}
�ł���B

�A���������̗��_����
\begin{equation}
A\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix}=\Bzr
\end{equation}
�͉� $(b_1, b_2, \ldots, b_m)\neq (0, 0, \ldots, 0)$ �����B���̂Ƃ�
$b_1\Bw_1+b_2\Bw_2+\cdots +b_m\Bw_m=\Bzr$ �ƂȂ�B
\end{proof}

���̒藝����x�N�g����� $\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ ���ɂ�
$n$ ��葽���̐��`�Ɨ��ȃx�N�g���͑��݂��Ȃ����Ƃ��킩��B���� $n$ ��葽����
�x�N�g���͂��̃x�N�g����Ԃ̊�ꂽ�肦�Ȃ��B

����ŁA���̒藝����A $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �����`�Ɨ��� $m<n$ �Ȃ��
$m$ �̃x�N�g�� $\Bw_1, \Bw_2, \ldots, \Bw_m$ �͂�͂� $\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ ��
��ꂽ�肦�Ȃ����Ƃ��킩��B
�Ƃ����̂� $\BK\langle\Bw_1, \Bw_2, \ldots, \Bw_m\rangle$ ��
$\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ ���܂ނȂ��
$n>m$ ��� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �͐��`�]���łȂ���΂Ȃ�Ȃ�����ł���B

���������āA���̂Ƃ�����̌��͈��ł��邱�Ƃ��킩��B
\begin{thm}
$\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �����`�Ɨ��ł���Ƃ�
$V=\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ ����
$m$ �̃x�N�g�� $\Bw_1, \Bw_2, \ldots, \Bw_m$ �� $V$ �̊��ƂȂ�Ȃ��
$\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle=\BK\langle\Bw_1, \Bw_2, \ldots, \Bw_m\rangle$ 
�ƂȂ�Ȃ�΁A $m=n$ �ł���B���Ȃ킿 $V$ �̊��͏�� $n$ �̃x�N�g������Ȃ�B
\end{thm}
\begin{proof}
$m>n$ �Ȃ�� $\Bw_1, \Bw_2, \ldots, \Bw_m$ �͈ꎟ�]���Ȃ̂Ŋ�ꂽ�肦�Ȃ��B���
$m<n$ �Ȃ�� $V$ �ɂ� $\BK\langle\Bw_1, \Bw_2, \ldots, \Bw_m\rangle$ �Ɋ܂܂�Ȃ�
�x�N�g�������݂���̂ł�͂� $\Bw_1, \Bw_2, \ldots, \Bw_m$ �͊�ꂽ�肦�Ȃ��B
\end{proof}

�ȏ���A$V$ �̊��̌��� $V$ ��{\bf ����} �Ƃ�Ԃ��Ƃ��ł���킯�ł���B�����
$\dim V$ �Ƃ����B���Ɋ�{�ƂȂ�̂𖾎�����Ƃ��� $\dim_\BK V$ �Ƃ����B

�藝\ref{th1}����A $V$ �� $n$ �����̃x�N�g����Ԃ� $n$ �̃x�N�g��
$\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\in V$ �����`�Ɨ��ł���Ƃ� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �� $V$ �̊��ł��邱�Ƃ��킩��B
�Ƃ����͔̂C�ӂ� $V$ �̃x�N�g�� $\Bw$ �ɑ΂�
$n+1$ �̃x�N�g�� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n, \Bw$ �͒藝\ref{th1}���
���`�]���ƂȂ邩��ł���B

\begin{example}
�� \ref{ex3} �ɂ������x�N�g����� $P_n(\BK)$ �̎����� $n+1$ �ł���B
\end{example}
\begin{example}
$\BC$ �� $\BC$ ��̃x�N�g����Ԃł���A�܂� $\BR$ ��̃x�N�g����Ԃł�����B������
$\dim_\BC \BC=1$ ���� $\dim_\BR \BC=2$ �ł���B�܂��{�ƂȂ�̂ɂ�莟���͈قȂ�B
\end{example}
\begin{example}
$U$ ���A�� \ref{ex6} �ɂ����� $\BK$ ��̐��� $(u_n) (n=0, 1, 2, \ldots)$ �S�̂���Ȃ�
�x�N�g����ԂƂ���B
���̂Ƃ��^����ꂽ�� $\alpha\in\BK$ �ɑ΂��A���� $\alpha$ �̓��䐔��S�̂̏W�� $V$ ��
$U$ �̕�����Ԃł��� $\dim_\BK V=1$ �ł���B
\end{example}
\begin{example}
2�������� $x^2-ax-b=0 (a^2-4b\neq 0)$ ��2�̉��� $\alpha, \beta$ �Ƃ�
$V$ �� $u_n=k\alpha^n+l\beta^n (n=0, 1, 2, \ldots)$ �ŗ^�����鐔��S�̂̏W���Ƃ����
$v_n=\alpha^n (n=0, 1, \ldots), w_n=\beta^n (n=0, 1, \ldots)$ �� $V$ �̊��ł���
$\dim_\BK V=2$ �ł���B
�܂�2�̐��� $(r_n), (s_n)$ ��
$r_0=1, r_1=0, r_{n+2}=ar_{n+1}+br_n, s_0=0, s_1=1, s_{n+2}=as_{n+1}+bs_n$
�ɂ���߂�� $(r_n), (s_n)\in V$ �� $(r_n), (s_n)$ �͐��`�Ɨ��ł��邩�炱��� $V$ �̊��ł���B
\end{example}
\begin{example}
$S=\{a+b\sqrt{2}\mid a, b\in\BQ\}$ �Ƃ����B���̂Ƃ� $S$ �� $\BQ$ ��̃x�N�g����Ԃł���B
�܂� $\sqrt{2}$ �͖����������� $1, \sqrt{2}$ �� $\BQ$ ����`�Ɨ��ł���B�����
$1, \sqrt{2}$ �� $S$ �̊��ł���B����� $\dim_\BQ S=2$ �ł���B
\end{example}

\noindent
\end{document}
