
\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[10pt,twocolumn]{jarticle}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{headings}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
\newtheorem{example}[thm]{Example}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollary}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]

\newcommand{\envert}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\let\abs=\envert
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{\fracpart}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\vecxy}[2]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \end{pmatrix}}
\newcommand{\vecxyz}[3]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}

\DeclareMathOperator{\rank}{rank}

\setlength{\hoffset}{0mm} 
\setlength{\voffset}{0mm}  
\addtolength{\voffset}{0pt} 
%\setlength{\oddsidemargin}{20mm}
\setlength{\topmargin}{0pt}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\headsep}{15pt}
\addtolength{\headsep}{2mm} 
\setlength{\marginparsep}{0pt}
\setlength{\marginparwidth}{0pt}
\setlength{\textheight}{230mm}
\setlength{\textwidth}{150mm}
\setlength{\columnsep}{8mm}

\newcommand{\Ba}{{\mathbf{a}}}
\newcommand{\Bb}{{\mathbf{b}}}
\newcommand{\Be}{{\mathbf{e}}}
\newcommand{\Bp}{{\mathbf{p}}}
\newcommand{\Bq}{{\mathbf{q}}}
\newcommand{\Bu}{{\mathbf{u}}}
\newcommand{\Bv}{{\mathbf{v}}}
\newcommand{\Bw}{{\mathbf{w}}}
\newcommand{\Bx}{{\mathbf{x}}}
\newcommand{\By}{{\mathbf{y}}}
\newcommand{\Bz}{{\mathbf{z}}}

\newcommand{\BC}{{\mathbf{C}}}
\newcommand{\BK}{{\mathbf{K}}}
\newcommand{\BR}{{\mathbf{R}}}
\newcommand{\BQ}{{\mathbf{Q}}}
\newcommand{\BZ}{{\mathbf{Z}}}
\newcommand{\Bzr}{{\mathbf{0}}}

\let\bs=\setminus

\begin{document}

\title{�㐔�w���_II�i�x�N�g����ԁ^�⑫�j}

\author{�R�c�q�G(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\section{���`�Ɨ����ƍs��}

����ʂɁA���x�N�g���̐��`�Ɨ����́A�s��̊K���ɂ���Ċm���߂邱�Ƃ��ł���B���Ȃ킿����2�̒藝�����藧�B
\begin{thm}
$A=\vecxyz{\Bv_1}{\Bv_2 \\ \vdots}{\Bv_n}$ �Ƃ���B
���̂Ƃ� $\rank A=n$ �ł��邱�Ƃ� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �����`�Ɨ��ł��邱�Ƃ͓��l�ł���B
\end{thm}
\begin{proof}
$k_1\Bv_1+k_2\Bv_2+\ldots +k_n\Bv_n=0$ �Ȃ�΁A $k_i\neq 0$ �ƂȂ� $i$ ���Ƃ���
$i$ �s�ڂ� $\frac{k_1}{k_i}\Bv_1+\frac{k_2}{k_i}\Bv_2+\ldots +\frac{k_n}{k_i}\Bv_n=0$ �Ɋ�{�ό`���邱�Ƃɂ��
$\rank A<n$ �ł��邱�Ƃ��m�F�ł���B

�t�� $\rank A<n$ �̂Ƃ���{�ό`���J��Ԃ����Ƃɂ��A��x�N�g���ƂȂ�s�����܂��B
��������{�ό`�ɂ���ē�����s�x�N�g���́A���̍s��̍s�x�N�g���́i�����łȂ��j���`�����ł������B
����Ċ�{�ό`���J��Ԃ��ē�����s�x�N�g���́A�ŏ��̍s��ł��� $A$ �̍s�x�N�g���́i�����łȂ��j���`����
�ł���B�܂��x�N�g���� $A$ �̍s�x�N�g���́i�����łȂ��j���`�����ł���킳���B���Ȃ킿
 $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �͐��`�]���ł���B
\end{proof}

\begin{thm}
$A=\begin{pmatrix}\Bv_1 & \Bv_2 & \ldots & \Bv_n\end{pmatrix}$ �Ƃ���B
���̂Ƃ� $\rank A=n$ �ł��邱�Ƃ� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �����`�Ɨ��ł��邱�Ƃ͓��l�ł���B
\end{thm}
\begin{proof}
$\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �����`�Ɨ��Ȃ�� $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\in\BR^n$ ���
$\BR^n=\BR\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ �ł���B�����
$b_{1i}\Bv_1+b_{2i}\Bv_2+\cdots +b_{ni}\Bv_n=\Be_i (i=1, 2, \ldots, n)$ �ƂȂ� $b_{ij} (1\leq i, j\leq n)$ ��
���݂���B $\Bu_i=\vecxyz{b_{1i}}{b_{2i} \\ \vdots}{b_{ni}}$ �Ƃ�����
$A\Bu_i=b_{1i}\Bv_1+b_{2i}\Bv_2+\cdots +b_{ni}\Bv_n=\Be_i$ �ł��邩��
$B=(b_{ij}) (1\leq i, j\leq n)$ �Ƃ����� $AB=E$ �ł���B���Ȃ킿 $A$ �͐����ł���B

$\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �����`�]���Ȃ��
$\BR\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ �Ɋ܂܂�Ȃ��x�N�g�� $\Bw\in\BR^n$ �����݂���B
$\BR\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ �� $T_A$ �ɂ�� $BR^n$ �̍s����ł��邩��
$T_A$ �͋t�ϊ��������Ȃ��B���Ȃ킿 $A$ �͋t�s��������Ȃ����� $A$ �͐����ł͂Ȃ��B
\end{proof}

���������ڂ����󋵂����Ă������B

$A=\begin{pmatrix}\Bv_1 & \Bv_2 & \ldots & \Bv_n\end{pmatrix}=(a_{ij}) (1\leq i\leq m, 1\leq j\leq n)$ �Ƃ����B

$A$ ���K�i�s��ɕό`����B���������
\begin{equation*}
\begin{split}
 \left(\begin{array}{ccccccc|c}
  & b_{1, s_1} & \multicolumn{4}{c}{\ldots} & b_{1, n} & 0 \\
  & & b_{2, s_2} & \multicolumn{3}{c}{\ldots} & b_{2, n} & 0 \\
  \multicolumn{2}{c}{\mbox{\smash{\Huge $0$}}} & \multicolumn{2}{c}{\ddots} & & & \vdots & \vdots \\
  & & & & b_{l, s_l} & \ldots & b_{l, n} & 0 \\
\end{array}\right)\\
\end{split}
\end{equation*}
�̂悤�ɕό`�ł���B���Ȃ킿
\begin{equation*}
\begin{split}
b_{1, s_1}k_{s_1}+b_{1, s_1+1}k_{s_1+1}+\ldots +b_{1, n}k_n &= 0, \\
b_{2, s_2}k_{s_2}+b_{2, s_2+1}k_{s_2+1}+\ldots +b_{2, n}k_n &= 0, \\
b_{l, s_l}k_{s_l}+b_{l, s_l+1}k_{s_l+1}+\ldots +b_{l, n}k_n &= 0, \\
\end{split}
\end{equation*}
�ƂȂ� $i_1<i_2<\cdots <i_l$ ����� $b_{ij}$ �����݂���B������ $l=\rank A, b_{i, s_i}\neq 0$ �ł���B
������ $\rank A=n$ �̂Ƃ� $s_1=1, s_2=2, \ldots, s_n=n$ �ƂȂ邩��
$k_n=0, k_{n-1}=-\frac{b_{n-1, n}}{b_{n-1, n-1}}k_n=0, k_{n-2}=-\frac{1}{b_{n-2, n}}(b_{n-2, n-1}k_{n-1}+b_{n-2, n}k_n=0, \ldots$
�ƂȂ� $k_1=k_2=\ldots =k_n=0$ �𓾂�B����������
$\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �͐��`�Ɨ��ł���B
��� $\rank A<n$ �̂Ƃ� $s_i+1<s_{i+1}$ �ƂȂ� $i$ �����݂��邩�A�܂��� $s_l=l<n$ �ł���B

$s_l=l<n$ �̂Ƃ� $k_{s_l}=-\frac{1}{b_{l, s_l}}(b_{l, s_l+1}k_{s_l+1}+\ldots +b_{l, n}k_n)$ �ƂȂ�悤��
$k_{s_l}, k_{s_l+1}, \ldots, k_n$ ��C�ӂɎ�邱�Ƃ��ł���B

$s_i+1<s_{i+1}$ �ƂȂ� $i$ �����݂���Ƃ���
$b_{i, s_i}k_{s_i}+b_{i, s_i+1}k_{s_i+1}+\ldots +b_{i, n}k_n=0$ �ƂȂ�悤��
$k_{s_i}, k_{s_i+1}, \ldots, k_{s_{i+1}-1}$ ��C�ӂɎ�邱�Ƃ��ł���B

���������� $k_1\Bv_1+k_2\Bv_2+ \cdots + k_n\Bv_n=0$ ���� $k_1=k_2= \cdots =k_n=0$ �ł͂Ȃ�
$k_1, k_2, \ldots, k_n$ �����݂���B����������
$\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ �͐��`�]���ł���A��̊�{�ό`�ɂ��
 $k_1\Bv_1+k_2\Bv_2+ \cdots +k_n\Bv_n=0$ �ƂȂ� $k_1, k_2, \ldots, k_n$ ��
�\���ł���B

�܂��g��s��
\begin{equation*}
\begin{split}
 \left(\begin{array}{cccc|cccc}
  a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
  a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & 0 & 0 & \ldots & 1 \\
\end{array}\right)\\
\end{split}
\end{equation*}
����{�ό`�ɂ��
\begin{equation*}
\begin{split}
 \left(\begin{array}{ccccccc|cccc}
  & b_{1, s_1} & \multicolumn{4}{c}{\ldots} & b_{1, n} & c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\
  & & b_{2, s_2} & \multicolumn{3}{c}{\ldots} & b_{2, n} & c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2m} \\
  \multicolumn{2}{c}{\mbox{\smash{\Huge $0$}}} & \multicolumn{2}{c}{\ddots} & & & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  & & & & b_{l, s_l} & \ldots & b_{l, n} & c_{l1} & c_{l2} & \ldots & c_{lm} \\
  & \multicolumn{5}{c}{} & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
  & \multicolumn{5}{c}{\mbox{\smash{\Huge $0$}}} & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
  & \multicolumn{5}{c}{} & & c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mm}  \\
\end{array}\right)\\
\end{split}
\end{equation*}
�ƕό`�����Ƃ��A $\BK^m$ �̕������ $\BK\langle\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n\rangle$ ��������
$c_{i1}x_1+c_{i2}x_2+\cdots +c_{im}x_m=0 (i=l+1, \ldots, m)$ �ɂ��^������B

\begin{example}
�{�_�̗�2.1�ł����� $\Bu=\vecxyz 131, \Bv=\vecxyz 375, \Bw=\vecxyz 235$ �ɂ���
$a\Bu+b\Bv+c\Bw=0$ �ƂȂ� $a, b, c$ ��
\begin{equation}
\begin{split}
& \left(\begin{array}{ccc|c}
  1 & 3 & 2 & 0 \\
  3 & 7 & 3 & 0 \\
  1 & 5 & 5 & 0
\end{array}\right)\\
\rightarrow & 
\left(\begin{array}{ccc|c}
  1 & 3 & 1 & 0 \\
  0 & -2 & -3 & 0 \\
  0 & 2 & 3 & 0 
\end{array}\right)\\
\rightarrow & 
\left(\begin{array}{ccc|c}
  1 & 3 & 1 & 0 \\
  0 & -2 & -3 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\end{split}
\end{equation}
��� $-2b-3c=0, a+3b+c=0$ �܂�
$c=2t, b=-3t, a=5t (t\in\BK)$ �ɂ��^������B
\end{example}

\noindent
\end{document}
