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\begin{document}

\title{代数学序論II期末レポート問題}

\author{山田智宏(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\thispagestyle{empty}

8/6 18:00 までに提出すること。中間レポートと期末レポートの点数の平均値を評価点とする。

\begin{itemize}
\item[1.] $\Bu=\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}, \Bv=\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$ に対し $A\Bu=2\Bu, A\Bv=3\Bv$ となる
$A$ を求めよ。

\item[2.] $A=\begin{pmatrix} -31 & 13 \\ -73 & 31 \end{pmatrix}$ とおく。基底 $\Bu=\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}, \Bv=\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}$ 
による $A$ の表現行列を求めよ。また $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

\item[3.] $A=\begin{pmatrix}1 & -8 & 3 \\ -1 & -10 & 6 \\ -1 & -16 & 9\end{pmatrix}, B=A^2$ とおく。
$\Ker T_A, \Imf T_A, \Ker T_B, \Imf T_B$ を求めよ。

\item[4.] $A=\begin{pmatrix}11 & -3\sqrt{2} & -3 \\ -3\sqrt{2} & 14 & 3\sqrt{2} \\ -3 & 3\sqrt{2} & 11\end{pmatrix}$ とおく。
$A$ を直交行列により対角化せよ。
\end{itemize}

\noindent
\end{document}
