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\let\bs=\setminus

\begin{document}

\title{代数学序論II期末レポート問題}

\author{山田智宏(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\thispagestyle{empty}

中間レポートと期末レポートの点数の平均値を評価点とする。

\begin{itemize}
\item[1.] $\Bu=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}, \Bv=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$ に対し $A\Bu=3\Bu, A\Bv=2\Bv$ となる
$A$ を求めよ。


\item[2.]
$M=\begin{pmatrix} 3 & -2 & -14 \\ 4 & -11 & 98 \\ 0 & 12 & 1 \end{pmatrix}$ とおく。
$M$ を左から順に直交行列、対角行列、対角成分がすべて $1$ である上三角行列、の3つの行列の積としてあらわせ。
（このような現し方を行列の岩澤分解という）


\item[3.] $\Bv_1=\vecxyz{1}{2}{3 \\ 5}, \Bv_2=\vecxyz{2}{1}{3 \\ 4}$ とし
$V=\BK\langle\Bv_1, \Bv_2\rangle$ とおく。

1) $\BK^4$ の基底で、 $\Bv_1, \Bv_2$ を含むものを求めよ。

2) $V$ をあらわす連立方程式を求めよ。


\item[4.]
$A=\begin{pmatrix} -16 & 20 & -22 \\ -17 & 22 & -23 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ とおく。

1) $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

2) $\Ker A, \Imf A$ を求めよ。

\end{itemize}

\noindent
\end{document}
