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\begin{document}

\title{代数学序論IIレポート問題（略解）}

\author{山田智宏(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\thispagestyle{empty}

\begin{itemize}
\item[1.] 2つのベクトル $\Bu=\vecxyz{1}{1}{3}, \Bv=\vecxyz{2}{-1}{1}$
によって $s\Bu+t\Bv (s, t\in \BR)$ の形であらわされるベクトルからなる平面を $V$ とおく。

1) 次のベクトルは $V$ に含まれるか。
\begin{equation*}
\Bw_1=\vecxyz{-2}{7}{9}, \Bw_2=\vecxyz{-7}{7}{4}.
\end{equation*}

2) $\vecxyz{-10}{8}{k}\in V$ となる $k$ を求めよ。

\item[1A.] 1) $s\Bu+t\Bv=\Bw_1$ ならば $s+2t=-2, s-t=7$ となるから $t=-3, s=4$ である。
このとき $4\Bu-3\Bv=\vecxyz{-2}{7}{9}=\Bw_1$ より $\Bw_1$ は $V$ に含まれる。

また $s\Bu+t\Bv=\Bw_2$ ならば $s+2t=-7, 3s+t=4$ となるから $s=3, t=-5$ である。
このとき $3\Bu-5\Bv=\vecxyz{-7}{8}{4}\neq \Bw_2$ より $\Bw_2$ は $V$ に含まれない。

2) $\vecxyz{-10}{8}{k}=s\Bu+t\Bv$ とあらされるならば $s+2t=-10, s-t=8$ より $s=2, t=-6$ である。
$2\Bu-6\Bv=\vecxyz{-10}{8}{0}$ であるから $k=0$ である。

\item[2.] $\Bu=\vecxyz 211, \Bv=\vecxyz 341, \Bw=\vecxyz 125$ とおく。
$\Bu+s\Bv+t\Bw (s, t\in\BR)$ と表示される平面の方程式を $ax+by+cz+d=0$ の形であらわせ。

\item[2A.] $\Bv\times \Bw=\vecxyz{18}{-14}{2}$ より $\Br=\begin{pmatrix}9 & -7 & 1\end{pmatrix}$ とおくと $\Br(s\Bv+t\Bw)=0$ である。
$\Br\cdot \Bu=12$ より $\vecxyz xyz=\Bu+s\Bv+t\Bw\Leftrightarrow 9x-7y+z-12=0$ となる。

\item[3.] $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ を2次正方行列とする。

1) 一次変換 $T_A$ が直線 $y=x$ を $y=2x$ にうつすための条件を $a, b, c, d$ を用いてあらわせ。

2) 一次変換 $T_A$ が直線 $y=2x-1$ を直線 $y=3x+6$ に、直線 $y=x+1$ を直線 $x=3$ にうつすとき $A$ を求めよ。

\item[3A.] $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ を2次正方行列とする。

1) $\Bv=\vecxy 11, \Bw=\vecxy 12$ とおくと 直線 $y=x$ は $\Bp=s\Bv$、 直線 $y=2x$ は
$\Bp=t\Bw$ とあらわされる。一次変換は零ベクトルは必ず零ベクトルに移すから $A\Bv=k\Bw, k\neq 0$ が成り立つこと、
つまり $A\Bv$ が直線 $y=2x$ 上の、原点以外の点にあることが必要十分。つまり $c+d=2(a+b), a+b\neq 0$ が必要十分。

2) 1) と同様にして 直線 $y=2x-1, y=x+1$ はそれぞれ
$\Bp=\vecxy 11 + s\vecxy 12, \Bq=\vecxy 01+t\vecxy 11$ とあらわされるから
$\vecxy 11$ を直線 $y=3x+6$ 上の点に、$\vecxy 01$ を直線 $x=3$ 上の点に、$\vecxy 12$ を $\vecxy 13$ と平行なベクトルに、$\vecxy 11$ を $\vecxy 01$ と平行なベクトルにそれぞれ移すことが必要十分。つまり
\begin{equation*}
c+d=3(a+b)+6, c+2d=3(a+2b), b=3, a+b=0
\end{equation*}
が必要十分。明らかに $a=-3, b=3$ なので $c+d=6, c+2d=9$、よって $c=d=3$ なので
$A=\begin{pmatrix}-3 & 3 \\ 3 & 3\end{pmatrix}$ である。
\end{itemize}

\noindent
\end{document}

