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\begin{document}

\title{代数学序論IIレポート問題}

\author{山田智宏(Tomohiro Yamada)}
\date{}
\maketitle

\thispagestyle{empty}

\begin{itemize}
\item[1.] 2つのベクトル $\Bu=\vecxyz{3}{4}{1}, \Bv=\vecxyz{-1}{-1}{2}$
によって $s\Bu+t\Bv (s, t\in \BR)$ の形であらわされるベクトルからなる平面を $V$ とおく。

1) 次のベクトルは $V$ に含まれるか。
\begin{equation*}
\Bw_1=\vecxyz{5}{8}{9}, \Bw_2=\vecxyz{1}{3}{7}.
\end{equation*}

2) $\vecxyz{2}{k}{9}\in V$ となる $k$ を求めよ。

\item[1A.] 1) $s\Bu+t\Bv=\Bw_1$ ならば $3s-t=5, 4s-t=8$ となるから $s=3, t=4$ である。
このとき $3\Bu+4\Bv=\vecxyz{5}{8}{11}\neq \Bw_1$ より $\Bw_1$ は $V$ に含まれない。

また $s\Bu+t\Bv=\Bw_2$ ならば $3s-t=1, 4s-t=3$ となるから $s=2, t=5$ である。
このとき $2\Bu+5\Bv=\vecxyz{1}{3}{12}\neq \Bw_2$ より $\Bw_2$ も $V$ に含まれない。

2) $\vecxyz{2}{k}{9}=s\Bu+t\Bv$ とあらされるならば $3s-t=2, s+2t=9$ より $s=13/7, t=25/7$ である。
$(13\Bu+25\Bv)/7=\vecxyz{2}{27/7}{9}$ であるから $k=27/7$ である。

\item[2.] $\Bu=\vecxyz 142, \Bv=\vecxyz 132, \Bw=\vecxyz 314$ とおく。
$\Bu+s\Bv+t\Bw (s, t\in\BR)$ と表示される平面の方程式を $ax+by+cz+d=0$ の形であらわせ。
また、この平面を $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 3 \end{pmatrix}$ により
あらわされる一次変換で移した図形を定めよ。

\item[2A.] $\Bv\times \Bw=\vecxyz{10}{2}{-8}$ より $\Br=\begin{pmatrix}5 & 1 & -4\end{pmatrix}$ とおくと $\Br(s\Bv+t\Bw)=0$ である。
$\Br\cdot \Bu=1$ より $\vecxyz xyz=\Bu+s\Bv+t\Bw\Leftrightarrow 5x+y-4z-1=0$ となる。

$A\Bu=\vecxyz{18}{14}{23}, A\Bv=\vecxyz{16}{12}{20}, A\Bw=\vecxyz{24}{18}{30}$ より
$A$ で移した図形は $x=4t+18, y=3t+14, z=5t+23$ であらわされる直線である。

\item[3.] $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ を2次正方行列とする。
一次変換 $T_A (T_a(\Bv)=A\Bv)$ が直線 $y=x+1$ を直線 $y=x+2$ に、直線 $y=-4x+3$ を直線 $y=3x+6$ にうつすとき $A$ を求めよ。

\item[3A.] 直線 $y=x+1, y=-4x+3$ はそれぞれ
$\Bp=\vecxy 01 + s\vecxy 11, \Bq=\vecxy 03+t\vecxy {1}{-4}$ とあらわされるから
$\vecxy 01$ を直線 $y=x+2$ 上の点に、$\vecxy 03$ を直線 $y=3x+6$ 上の点に、$\vecxy 11$ を $\vecxy 11$ と平行なベクトルに、$\vecxy {1}{-4}$ を $\vecxy 13$ と平行なベクトルにそれぞれ移すことが必要十分。つまり
\begin{equation*}
d=b+2, 3d=9b+6, c+d=a+b, c-4d=3(a-4b)
\end{equation*}
が必要十分。$3b+6=9b+6$ より $b=0, d=2$ なので $a=c+2, 3a=c-8$、よって $c=-7, a=-5$ なので
$A=\begin{pmatrix}-5 & 0 \\ -7 & 2\end{pmatrix}$ である。
\end{itemize}


\noindent
\end{document}
