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約数について

　二つの整数 N, M について、N= aM となる整数 a が存在するとき、N を M の倍数 (multiple) であるといい、M を N の約数 (divisor) であるという。
　N の約数の個数を d (N ) とかき、N の約数の和を σ(N ) とかく。なお、いずれの場合も、約数の中には 1 や N 自身を含む。

　たとえば、 σ(6)=6+3+2+1=12, σ(12)=12+6+4+3+2+1=28 など。また、 p が素数ならば、 p の約数は 1 と p の2つしかない。よって、d (p )=2 , σ(p )=p +1 である。

　素因数分解の一意性から、 M, N が 1より大きな整数ならば、 M = p₁^f₁p₂^f₂...p_k^f_k , N = p₁^e₁p₂^e₂...p_k^e_k, p₁, p₂, ..., p_k は相異なる素数で e₁, e₂, ..., e_k , f₁, f₂, ..., f_k は負ではない整数、と一意に表せる（指数が 0 になるものは無視する）。よって、 N が M の倍数ならば、 N=aM とかけ、 a, M はそれぞれ正の整数であるから、それぞれ素因数分解でき、 N の素因数分解はそれによって定まる。したがって、 N の素因数分解には 各 p_i が f_i 回以上現れることになる。すなわち、 f_i ≤ e_i となる。
　逆に、 M = p₁^f₁p₂^f₂...p_k^f_k , N = p₁^e₁p₂^e₂...p_k^e_k, p₁, p₂, ..., p_k は相異なる素数で f_i ≤ e_i ならば、 M は N の約数であることはすぐに分かる。
　（ここで、素因数分解の一意性は重要である。もし素因数分解の一意性がなければ、 N の素因数分解が、上で言うところの N=aM から従うもののほかにもあるかも知れず、そのような N の素因数分解は M の素因数分解とは関係付けられなくなってしまうからである）

　したがって、 N = p₁^e₁p₂^e₂...p_k^e_k, p₁, p₂, ..., p_k は相異なる素数で e₁, e₂, ..., e_k は負ではない整数のとき、 N の約数はちょうど上記の形をしたものすべてとなることがわかる。

　よって、 d (N ) および σ(N ) について次のことが分かる。

　d (N )=(e₁+1)(e₂+1)...(e_k+1), σ(N )=(p₁^e₁+p₁^e₁-1+...+1)(p₂^e₂+p₂^e₂-1+...+1)...(p_k^e_k+p_k^e_k-1+...+1).

　自分自身を除く約数の和が自分自身に等しくなる数は完全数 (perfect number) と呼ばれる。すなわち、σ(N )=2N となるとき、 N を完全数という。たとえば、 6=3+2+1, 28=14+7+4+2+1 などである。完全数の概念は古代ギリシアのピタゴラスにまで遡るといわれる。
　また、旧約聖書の「創世記」には「神は6日で世界を創造した」という記述があるが、これは 6 が完全数であることと結びついているとされる（その後、「7日目に休息した」という記述から、西洋では 7 こそが完全な数であり 6 は悪魔の数字とされるようになったとも言われるが、良く分からない）。

　紀元前には既にユークリッドによって 6, 28, 496, 8128 が完全数であることは知られていた。ユークリッドはまた、 2ⁿ-1 が素数（今日で言う、メルセンヌ素数である）ならば、 2^{n -1}(2ⁿ-1)は完全数であることを示した。
　18世紀に入って、オイラーは偶数の完全数はユークリッドが示した形のものしかないことを証明した。したがって、偶数の完全数はメルセンヌ素数と一対一に対応する。
　メルセンヌ素数は無限に存在する（つまり、偶数の完全数は無限に存在する）と予想されているが、未だに解決されていない。

　奇数の完全数は存在するのだろうか。これはピタゴラスの時代には問題にされていたもので、数論における最古の未解決問題と言われている。

　ピタゴラスはまた、完全数と良く似た概念である友愛数という数を考えた。二つの数の組で、一方の約数の和（自分自身を除く）が、もう片方の約数の和（自分自身を除く）に等しいものである。ある人から「友人とは何ですか？」と開かれた時、「それはもうひとつの私です。たとえば 220 と 284 のようなものです」と答えたという。
　実際、220=2²*5*11, 284=2²*71 だから、 σ(220)=7*6*12=504, σ(284)=7*72=504 となり、σ(220)-220=284, σ(284)-284=220 となる。